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2010

インターエデュ2010-09-14  ☆ニュートン算・井戸の水をポンプでくみ出す☆


いつも一定の量の水がわき出る井戸があります。この井戸の水を同じ性能のポンプでくみ出します。5台のポンプで20分間くみ出すと井戸の水は最初にあった量のちょうど半分になり、続いて3台のポンプだけで40分間くみ出すと井戸は空になります。はじめから6台のポンプでくみ出すと何分で井戸は空になりますか。
 
【補足】
これは入試問題ではなく、掲示板「インターエデュ」で取り上げられていたものです。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!

 


まずはポンプ1台が1分間にくみ出す水の量を①とおき、 20分間と40分間でくみ出した水の量の割合をそれぞれ求めてみます。

5台のポンプで20分間くみ出したときの水の量は
①×5台×20分=100と表せます。

その量は「最初から井戸にたまっていた水の半分」と「20分間にわき出た水の量」なので、 「井戸の半分」+「わき出た20分」=100となります。・・・式1

3台のポンプで40分間くみ出したときの水の量は
①×3×40=120と表せます。
 
その量は「最初から井戸にたまっていた水の残り半分」と「40分間にわき出た水の量」なので、 「井戸の半分」+「わき出た40分」=120と表せます。・・・式2

この2つの式を、次の図のように消去算っぽく計算してみると、120-100=20が、40-20=20分間でわき出た水の量にあたることが分かります。

※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

d96a16be.png



20分間でわき出た水の量が⑳なら、1分間にわき出る水の量は⑳÷20=となります。

※ ポンプ1台が1分間にくみ出す水の量と1分間にわき出る水の量が同じ。

ここで再び式1に戻ってみると、次の図の「わき出た20分」の量は20なので、「井戸の半分」は100-20=80、そして最初から井戸にたまっていた水の量は80×2=160と表せます。

91f9fd25.png




ここからは「役割分担」の発想を利用します。

6台のポンプが1分間でくみ出す水の量は、
①×6=⑥と表せます。

次の図のように、その能力のうちの①は1分間に①ずつわき出る水をくみ出すために使い、残りの⑥-①=⑤は最初から井戸にたまっていた160をくみ出すために利用します。

2dc24937.png










すると、わき出る水はいつでも回収できているので、あとは最初から井戸にたまっていた160の水をすべてくみ出した瞬間に井戸は空になります。

以上から、ポンプ6台で井戸を空にするためにかかる時間は160÷
⑤=32分間になります。



 
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