気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように、２つの直方体の水そうＡ、Ｂの側面に穴をあけ、そこに底面の直径が４０㎝の円柱の管を横にして水平に取りつけ、水が通るようにしました。Ａの上部からこの水そうが満水になるまで一定の割合で水を入れていきます。また、Ｂの底面には排水口があり一定の割合で水が流れます。
 
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水を入れ始めてから１３分２０秒後のＡの水面の高さは４０㎝で、水を入れ始めてから５９分２４秒後のＡの水面の高さは７０㎝でした。次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
 
(１)
毎分何リットルの割合で水を入れましたか。
 
(２)
排水口からは毎分何リットルの割合で水が流れ出ますか。
 
(３)
この水そうが満水になるのは、水を入れ始めてから何時間何分何秒後ですか。
 
 
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(１)
次の図のように、Ａの水面の高さが４０㎝になるまでに注いだ水は、円柱の管を通ってＢへ流れることなく、すべてＡの中へたまります。
 
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上の図でＡの容器にたまった水の量は５０×５０×４０＝１０００００㎤＝１００リットルです。
 
つまり、１３分２０秒＝３分の４０分間に１００リットルの割合で水が入るので、１分間に入る水の量は１００÷３分の４０＝７.５リットルになります。
 
 
(２)
容器Ａの水面の高さが、管の下端である５０㎝に到達するまでは、水が管を通ってＢへ流れることはありません。
 
容器Ａの水面の高さは、１３分２０秒の時点で４０㎝になっているので、次の図のように水面の高さが５０㎝になるまで、あと５０－４０＝１０㎝の余裕があります。













上の図の黄色い部分の容積は５０×５０×１０＝２５０００㎤＝２５リットル、そして１分間に入る水の量は７.５リットルなので、上の図の黄色い部分を水が満たすのにかかる時間は２５÷７.５＝３分の１０分間＝３分２０秒です。
 
したがって、容器Ａの水面の高さが５０㎝になるのは、水を入れ始めてから１３分２０秒＋３分２０秒＝１６分４０秒後です。
 
容器Ａの水面の高さが５０㎝になるのは１６分４０秒後、容器Ａの水面の高さが７０㎝になったのは５９分２４秒後です。

５９分２４秒－１６分４０秒＝４２分４４秒＝１５分の６４１分間に入った水の量は、７.５×１５分の６４１＝３２０.５リットルであり、その水は次の図の緑色の部分にたまっているはずです。












上の図の緑色の部分は、容器Ａだと深さ２０㎝分、円柱の管(直径４０㎝)も深さ２０㎝分、そして容器Ｂだと深さ７０㎝分にあたるので、それぞれの容積を求めてみると、
 
・容器Ａの緑色の部分の容積→５０×５０×２０＝５００００㎤＝５０リットル
・管の緑色の部分の容積(管の容積の半分)→２０×２０×３.１４×５０÷２＝３１４００㎤＝３１.４リットル
・容器Ｂの緑色の部分の容積→５０×５０×７０＝１７５０００㎤＝１７５リットル
 
となります。
 
つまり、上の図の緑色の部分の容積の合計は５０＋３１.４＋１７５＝２５６.４リットルとなるのですが、１５分の６４１分間に入った水の量は３２０.５リットルなので、その差にあたる３２０.５－２５６.４＝６４.１リットルは、容器Ｂの底にある排水口から出ていったことが分かります。
 
したがって、排水口から１分間に流れ出る水の量は、６４.１÷１５分の６４１＝１.５リットルになります。
 
 
(３)
容器に入る水の量は毎分７.５リットル、排水口から流れ出る水の量は毎分１.５リットルなので、容器にたまる水の量は７.５－１.５＝毎分６リットルです。
 
水を入れ始めてから５９分２４秒経過したとき、次の図の青い部分に水がたまっているので、あとは黄色い部分を水で満たせば水そう全体が満水になります。












上の図の黄色い部分のうち、容器ＡとＢはどちらも深さ３０㎝分の容積にあたるので、その合計は５０×５０×３０×２＝１５００００㎤＝１５０リットルです。
 
また、円柱の管には５９分２４秒の時点で管全体の半分にあたる３１.４リットルの水が入っていたので、黄色い部分の容積も３１.４リットルになります。
 
つまり、上の図の黄色い部分の容積は１５０＋３１.４＝１８１.４リットルであり、それを毎分６リットルずつ満たすのにかかる時間は１８１.４÷６＝３０分の９０７分間＝３０分１４秒です。
 
したがって、水そう全体が満水になるのは、水を入れ始めてから５９分２４秒＋３０分１４秒＝１時間２９分３８秒後になります。