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04/10

Sat

2010

武蔵2009【3】 ☆倍数☆


横の辺の長さが6mの長方形の部屋の床に正方形のタイルをしきつめます。横の辺に平行な直線で床を2つの長方形に分けて、一方には一辺が50cmのタイルをしき、もう一方には一辺が30cmのタイルをしくと、床全面にしきつめられます。このとき使うタイルは合計228枚です。
 
また、直線を横の辺に平行なままずらして床を前とは別の2つの長方形に分けて、一方には一辺が30cmのタイルをしいても、床全体にしきつめられます。このとき使うタイルは合計220枚です。
 
部屋のたての辺の長さは何mですか。式や考え方も書きなさい。
 
 
※ 解説を見たい場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!



とりあえず、問題文の場面から確認していきましょう。
 
【一辺50cm(青色)と30cm(赤色)のタイルを使う場合】

371.png









(画像はすべて、クリックすると拡大します)

横の長さは6m=600cmなので、50cmのタイルは横1列に600÷50=12枚ずつ、そして30cmのタイルは横1列に600÷30=20枚ずつならんでいます。
 
また、タイルの合計は228枚なので、一の位の「8」を作るには次の3通りが考えられます。
 
① 50cmのタイルが12枚×4列=48枚の場合
そのとき、30cmのタイルは228-48=180枚=20枚×9列となる。
 
② 50cmのタイルが12枚×9列=108枚の場合
そのとき、30cmのタイルは228-108=120枚=20枚×6列となる。
 
③ 50cmのタイルが12枚×14列=168枚の場合
そのとき、30cmのタイルは228-168=60枚=20枚×3列となる。
 
【一辺40cm(緑色)と30cm(赤色)のタイルを使う場合】

372.png









この図の場合、オレンジ色の境界線はさっきよりも下にずらせるので、30cmのタイルの枚数は減ります。また、50cmのタイルは全部はがしてポイしたあと、40cmのタイルをすき間なくしきつめます。
 
 ※ 境界線を上にずらすと30cmのタイルをはる部分が広くなる→枚数の合計が増えちゃうのでダメ。
 
このとき、50+30=40×2になることを利用して、50cmと30cmのタイルを1列ずつはがしたところに、40cmのタイルを2列あてはめれば、次の図のようにピッタリ交換できます。

373.png











50cmと30cmのタイルを1列ずつはがすと、タイルの枚数は12+20=32枚減ります。
 
また、40cm(緑色)のタイルは横1列に600÷40=15枚ずつならんでいるので、40cmのタイルを2列はると、タイルの枚数は15×2=30枚増えます。
 
つまり、上の図のような交換を1回行うごとに、タイルの合計枚数は32-30=2枚ずつ減っていきます。
 
実際にはタイルの合計が228-220=8枚減ったので、この交換を8÷2=4回行ったことが分かります。
 
この交換を4回行うと、50cmと30cmのタイルは最初の図より4列ずつ減るのですが・・・
 
① 50cmのタイルが12枚×4列、30cmのタイルが20枚×9列の場合
 
交換の後、50cmのタイルは全部なくなってスッキリ!30cmのタイルは9-4=5列残り、40cmのタイルが2×4=8列増えます。
 
② 50cmのタイルが12枚×9列、30cmのタイルが20枚×6列の場合
 
交換の後、50cmのタイルが9-4=5列残ったままなのでダメ!
 
③ 50cmのタイルが12枚×14列、30cmのタイルが20枚×3列の場合
 
そもそも30cmのタイルが3列しかないので1回も交換ができない!
 
 
というわけで、問題文の条件にあてはまるのは上の①のときしかありえないことが分かります。
 
以上から、部屋のたての長さは50×4+30×9=470cm=4.7mになります。


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