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2010

立教新座2010【1】の(5) ☆倍数・倍数の性質を利用する☆

ある中学校では学年ごとの最大定員は500人です。1年生全体の人数は2年生全体の人数よりは13人多く、3年生全体の人数より65人少なくなっています。また、2年生は26人ずつのクラスで、3年生は32人ずつのクラスです。次の問いに答えなさい。
 
(1) 3年生全体の人数は何人ですか。
 
(2) 1年生全体を何人ずつのクラスにすると、2年生と同じクラス数になりますか。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!

 

(1)
まずはいちばん人数の少ない2年生の生徒数を基準にして、3つの学年の人数の関係を次のような線分図に表してみます。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

niza1-501.png






2年生はすべて26人ずつのクラスなので、学年全体の人数は「26×□」という式で表すことができます。
 
また、3年生は2年生よりも13+65=78人多いので、学年全体の人数は「26×□+78」という式で表せます。
 
3年生のクラスはすべて32人なので、「26×□+78」の答えは32の倍数になります。
 
そもそも26の倍数というのは、「26」のかたまりがたくさん並んでいる状態のことを指しています。
 
つまり「26×□+78」を図に表すと、次のように26人のグループがたくさんあって、さらに78人が余っている状態になります。

niza1-502.png



それを32の倍数に変換するためには、次の図のようにまずは78人を6人ずつのグループに分けそれを26人のグループに次々とくっつけていけばOKです。

niza1-503.png
 








78÷6=13なので、上の図の赤い「6人」と青い「26人」をくっつける作業は全部で13回できます。
 
つまり、3年生全体は32人のクラスが13組あると考えられるので、学年全体の人数は32×13=416人になります。
 
 
(2)
3年生全体の人数は416人なので、2年生全体の人数は416-78=338人、そして1年生全体の人数は338+13=351人になります。
 
2年生のクラスの数は338÷26=13組なので、1年生もクラスの数を13組にするためには、1つのクラスの人数を351÷13=27人にすればOKです。
 
 
【もうちょっとカッコいい求め方】
 
(1)の問題を解いたときに、3年生のクラス数は13組であることを確認しました。
 
次の図の緑色の枠が3年生の1クラスを、そして青色の枠が2年生の1クラスをそれぞれ表していることに気がつけば、どちらの学年もクラスは13組あることが分かります。
 
※ 2年生の人数は26×13、3年生の人数は(26+6)×13で求められる。

niza1-504.png





また、1年生の人数は2年生より13人多いので、1年生全体の人数は「26×13+13」という式で表すことができます。
 
したがって次の図のように、余りの13人を1人ずつ「26人」とくっつけていけば、1年生の生徒を13組に分けることができるので、1年生の1クラスあたりの人数は26+1=27人になります。

niza1-505.png










 
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