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Sat

2010

渋谷教育学園渋谷2010【３】　☆立体図形・相似の利用☆

下の図のように２つの同じ台形と４つの長方形の６面からなる立体を、斜線を引いた部分の切り口が長方形になるように、①、②、③の３つの部分に切断します。次の問いに答えなさい。

※　画像はクリックすると拡大します。

sisi301.png
(１)　ＡＢの長さを求めなさい。
 
(２)　②と③の体積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
 
(３)　①のア、イ、ウを通る平面で切ったとき、Ａを含む立体の体積を求めなさい。
※　解説を見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！

 

(１)
この立体を真正面から見ると次のような図になっているのですが、頂点アから右へまっすぐ(底辺と平行に)線を引くと、底辺：高さ＝５６㎝：１４㎝＝４：１の直角三角形ができます。

※　画像はすべて、クリックすると拡大します。

sisi302.png

また、次の図のように頂点アの左側にも線をのばすと、三角形ＣＤＥや三角形ＡＢＥ、三角形アＦＥはすべてさっきの緑色の三角形と相似になるので、どれも底辺：高さ＝４：１になっています。

sisi303.png
このとき、辺ＥＤの長さは１４×４＝５６㎝(辺ＣＤの４倍)、辺ＥＢの長さは５６－１４＝４２㎝なので、求める辺ＡＢの長さは４２÷４＝１０.５㎝になります。
 
※　三角形ＡＢＥの底辺ＥＢ：高さＡＢ＝４：１になることを利用しました。
 
 
(２)
②と③の立体の底面を、それぞれ真正面にある台形とすると、高さはどちらも１８㎝になります。したがって、体積の比は底面の面積比と等しくなります。
 
下の図の三角形ＧＨＥもさっきの緑色の三角形と相似なので、底辺：高さ＝４：１になっています。したがって、辺ＥＨの長さは２０×４＝８０㎝、辺ＤＨの長さは８０－５６＝２４㎝になります。

sisi304.png
このとき、②と③の台形(それぞれの立体の底面)の面積を求める式は次のようになります。
 
・②の台形の面積→(１０.５＋１４)×１４÷２＝３４３÷２
・③の台形の面積→(１４＋２０)×２４÷２＝８１６÷２
 
②と③の台形の面積が立体の体積比になるので、答えは②：③＝３４３：８１６になります。
 
※　３４３＝７×７×７ですが、８１６は７で割り切れないので、これ以上簡単な比にはできません。
 
 
(３)
まずはこの立体の全体の体積を求めます。
 
次の図の正面にある台形を底面とすると高さは１８㎝になるので、全体の体積は(６＋２０)×５６÷２×１８＝１３１０４㎤になります。

sisi305.png
あとはこの立体を切断して、全体の体積から点Ａをふくまない方の立体の体積を引けばＯＫなのですが、３点ア、イ、ウだけにナイフを入れても左すみに切れ目が入るだけで、立体を切断することはできません。
 
問題文の条件の通りにこの立体を切断するためには、立体の左側面にあるアとイを結んだ直線にナイフを当て、そのまま立体の右はしまで一気にスパッと突き抜けるように切断する必要があります。

sisi306.png
上の図の赤い平面によって切断された立体のうち、下側は次のような三角柱になります。
 
この三角柱の底面を右側面または左側面の三角形とすると高さは５６㎝になるので、この三角柱の体積は１８×６÷２×５６＝３０２４㎤になります。

sisi307.png

以上から、点Ａをふくむ立体(切断してできた立体のうち、上にあるやつ)の体積は、１３１０４－３０２４＝１００８０㎤になります。


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