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2011

南山女子2011【6】 ☆公倍数・内角25度の三角形を点Oのまわりにつなげていく☆

同じ大きさで同じ形をした三角形を、点Oのまわりに次の図のように順番においていくと、15枚目と16枚目の三角形は1枚目の三角形にそれぞれ一部分が重なります。このようにしていくと、1枚目の三角形に、初めてちょうど重なるのは何枚目の三角形ですか。
 
※ 画像はクリックすると拡大します。

nanz601.png










※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!


たとえば次の図のように、内角が45度の三角形を反時計回りにつなげていく場合を考えてみると、
 
・1周=360度は内角45度の倍数である。
360÷45=8枚目のとき、下の図のようにちょうど1周する。
・したがって、8+1=9枚目の三角形は1枚目とピッタリ重なる。
 
という流れになっています。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

nanz602.png









また、次の図のように内角が80度の三角形を反時計回りにつなげていくと、
 
・1周=360度は80度の倍数ではない。
・360÷80=4余り40度なので、4枚目のときに赤い線まであと40度。
・つまり、5枚目の三角形は1枚目とぴったり重ならないので2周目へ突入。
・2周=360×2=720度は80度の倍数である。
720÷80=9枚目のとき、下の図のようにちょうど2周する。
・したがって、9+1=10枚目の三角形は1枚目とピッタリ重なる。
 
という流れになります。

nanz603.png








nanz604.png









これらの2つの例(内角45度と80度の三角形をつなげる場合)から分かることをカンタンにとめてみると、
 
・まずはつなげる三角形の内角と1周=360度との最小公倍数を求めてみる
・その最小公倍数である角度まで三角形をつなげると、ちょうど何周か進んで赤い点線で終わる
・その次につなげる三角形は、1枚目の三角形とピッタリ重なる
 
という感じなので、まずはこの問題でつなげる三角形の内角である25度と360度の最小公倍数を求めてみると、次の連徐法の図から5×5×72=1800度になります。

nanz605.png








また、1800÷25=72枚なので、次の図のように内角25度の三角形を反時計回りにつなげたとき、72枚目の三角形は赤い線のところで終わります。
 
1枚目の三角形とピッタリ重なるのはその次につなげる三角形なので、答えは72+1=73枚目になります。
 
※ 1800÷360=5周したときが72枚目。その次につなげる73枚目が、1枚目と同じ位置に来る。

nanz606.png







 
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