次の図の四角形ＡＢＣＤは平行四辺形です。辺ＡＤ上に点Ｅ、Ｆがあり、ＢＥとＣＦの延長線の交点をＰとします。三角形ＰＡＢ、三角形ＰＣＤ、三角形ＥＦＣの面積は、それぞれ４㎠、９㎠、５㎠です。
※ 画像はクリックすると拡大します。
(１)
平行四辺形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
(２)
三角形ＰＥＦの面積を求めなさい。
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！
(１)
************ 予備知識の確認 *************
次の図のように、台形ＡＢＣＤへ対角線を２本引くと、台形の内部は４つの三角形に分かれます。
この図の三角形ＡＢＣ(ア＋イ)と三角形ＤＢＣ(ウ＋イ)は、どちらも底辺がＢＣで高さも等しいので面積は同じです。
つまり、ア＋イ＝ウ＋イなので、ア＝ウとなる(対角線を引いた台形の両脇にある三角形の面積は等しい)ことが分かります。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
************ ここから本題 *************
次の図のように、辺ＡＢとＤＣのどちらにも平行な線ＰＱを引くと、辺ＡＢとＰＲも平行なので、ＰＡＢＲは台形になります。
「対角線を引いた台形の両脇にある三角形の面積は等しい」ので、三角形ＰＡＥとＢＲＥの面積は同じであり、しかも三角形ＰＡＢ＝ＰＡＥ＋ＡＢＥの面積は４㎠なので、この図の三角形ＡＢＥとＢＲＥの面積の合計も４㎠になります。
※ つまり、三角形ＡＢＲの面積は４㎠となる。
次の図のＰＲＣＤも辺ＰＲとＤＣが平行なので台形です。
また、三角形ＰＦＤとＣＦＲの面積は同じであり、しかも三角形ＰＣＤ＝ＰＦＤ＋ＤＣＦの面積は９㎠なので、この図の三角形ＤＣＦとＣＦＲの面積の合計も９㎠になります。
※ つまり、三角形ＤＣＲの面積は９㎠となる。
つまり次の図のように、三角形ＡＢＲの面積は４㎠、ＤＣＲの面積は９㎠なので、その２つの面積の合計は４＋９＝１３㎠です。
また、三角形ＡＢＲとＤＣＲの面積の合計は平行四辺形ＡＢＣＤのちょうど半分にあたるので、平行四辺形ＡＢＣＤの面積は１３×２＝２６㎠になります。
(２)
次の図の三角形ＡＥＢとＥＦＣとＦＤＣの３つを合わせると、ちょうど平行四辺形ＡＢＣＤの半分の面積と等しくなるので、この３つの三角形の面積は合わせて２６÷２＝１３㎠です。
また、三角形ＥＦＣの面積は５㎠なので、三角形ＡＥＢとＦＤＣの面積の合計は１３－５＝８㎠になります。
さらに、この３つの三角形はどれも高さが同じで、面積比と底辺の長さの比が等しくなるので、「辺ＡＥ＋ＦＤ」と「辺ＥＦ」の長さの比は８㎠：５㎠＝８：５となります。
次の図の三角形ＰＡＢとＰＣＤの面積の合計は４＋９＝１３㎠、そして三角形ＡＥＢとＦＤＣの面積の合計は８㎠なので、三角形ＰＡＥとＰＦＤの面積は合わせて１３－８＝５㎠です。
次の図の三角形ＰＡＥとＰＥＦとＰＦＤはどれも高さが同じなので、面積比が底辺比と等しくなります。
また、「辺ＡＥ＋ＦＤ」と「辺ＥＦ」の長さの比が８：５であることも分かっているので、「三角形ＰＡＥ＋ＰＦＤ」と「三角形ＰＥＦ」の面積比も８：５になります。
上の図の三角形ＰＥＦの面積を□㎠とおくと、８：５＝５㎠：□㎠という比例式ができるので、ＰＥＦの面積は５×５÷８＝３.１２５㎠になります。
PR
