箱の中に、赤玉と白玉と青玉が入っています。赤玉の個数は６の倍数で、青玉の個数は７の倍数です。白玉が赤玉より１０個多く、青玉が白玉より８個多いとき、次の問いに答えなさい。
(１)
青玉の個数として考えられる数のうち、最も小さいものを求めなさい。
(２)
箱の中に４００個以上の玉が入っています。白玉の個数として考えられる数のうち、最も小さいものを求めなさい。答えだけでなく、途中の考え方を示す式や図などもかきなさい。
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(１)
白玉が赤玉より１０個多く、青玉が白玉より８個多いので、青玉は赤玉よりも１０＋８＝１８個多いことが分かります。
赤玉の個数を□個とおくと、青玉の個数はそれよりも１８個多いので、赤玉と青玉の個数の関係を線分図に表すと次のようになります。
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赤玉の個数である「□個」は６の倍数、そして１８個も６の倍数なので、青玉の個数である「□個＋１８個」は６の倍数です。
また、問題文に「青玉の個数は７の倍数」とあることから、青玉の個数は６と７の公倍数であることが分かります。
つまり、青玉の個数として考えられる最も小さな数は、６と７の最小公倍数のことなので、答えは４２個になります。
(２)
さっきの問題で、青玉の個数は６と７の公倍数であることが分かったので、そのことを頭の片隅に置きながら問題を解いていきます。
３種類の玉の個数の関係を線分図に表すと次のようになるので、図の緑色３か所の玉の数は全部で４００－(１０＋１８)＝３７２個以上、そして緑色１か所の玉の数は３７２÷３＝１２４個以上になります。
次のように、赤玉と青玉の個数の関係を線分図に表してみると、赤玉の個数(緑色の部分)は１２４個以上なので、青玉の個数は１２４＋１８＝１４２個以上となることが分かります。
また、青玉の個数は６と７の公倍数なので、青玉の個数には、
・６と７の最小公倍数である４２の倍数である
・１４２個以上である
という２つの条件を満たす数があてはまります。
つまり青玉の個数は、１４２よりも大きく、１４２に最も近い４２の倍数である４２×４＝１６８個です。
白玉の数は青玉よりも８個少ないので、答えは１６８－８＝１６０個になります。
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