気まぐれ解説カフェ(仮)

(１)
青色の電球は「２秒光って３秒消える」を繰り返すので、２＋３＝５秒をひとつの周期として考えます。
 
また、黄色の電球は「１秒光って２秒消える」を繰り返すので、１＋２＝３秒がひとつの周期、赤色の電球は「３秒光って４秒消える」を繰り返すので、３＋４＝７秒がひとつの周期になります。
 
５秒と３秒と７秒の最小公倍数は１０５秒なので、次の図のようにスタートから１０５秒後に３つの電球が消えている状態が終わり、同時に光り始めます。
 
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【補足】
 
この問題についてもうちょっと細かく説明するため、スタートから１０５秒後に３色の電球がそれぞれどんな状況になっているのかを確認してみると、
 
・青色→１０５÷５＝２１なので、「２秒光って３秒消える」の２１回目がちょうど終わる。
・黄色→１０５÷３＝３５なので、「１秒光って２秒消える」の３５回目がちょうど終わる。
・赤色→１０５÷７＝１５なので、「３秒光って４秒消える」の１５回目がちょうど終わる。
 
となっています。
 
つまり上の図のように、スタートから１０５秒後は「３つの電球が消えている状態が終わり、同時に光り始める境目」にあたるので、答えは１０５秒後になります。
 
 
(２)
３色の電球の周期である５秒と３秒と７秒の最小公倍数は１０５秒なので、スタートから１０５秒後までの電球の関係をすべて調べれば、光っている３色の電球が初めて同時に消える瞬間が必ず見つかります。
 
※　というか、１０５秒までに見つからなければ永遠にありません。
 
ただ、１０５秒間の電球の関係を図に表してチェックしていくのはそれなりに大変(不可能ではない)ので、まずは「青色と黄色の電球が同時に消える時間」と「黄色と赤色の電球が同時に消える時間」の規則性をそれぞれ調べてみます。
 
【青色と黄色の電球が同時に消える時間の規則性】
 
青色の電球の周期は「２秒光って３秒消える」の５秒、黄色の電球の周期は「１秒光って２秒消える」の３秒なので、５秒と３秒の最小公倍数である１５秒間の様子を図に表してみると次のようになります。







上の図を見れば分かるように、青色と黄色の電球はスタートから７秒後に初めて「光っている電球が同時に消える」状態になります。
 
また、その後は５秒と３秒の最小公倍数である１５秒ごとに同じ状態になるので、青色と黄色の電球が「光っている電球が同時に消える」状態になるのは、スタートから７秒後、７＋１５＝２２秒後、２２＋１５＝３７秒後、・・・であることが分かります。
 
 
【黄色と赤色の電球が同時に消える時間の規則性】
 
黄色の電球の周期は「１秒光って２秒消える」の３秒、赤色の電球の周期は「３秒光って４秒消える」の７秒なので、３秒と７秒の最小公倍数である２１秒間の様子を図に表してみると次のようになります。






上の図を見れば分かるように、黄色と赤色の電球はスタートから１０秒後に初めて「光っている電球が同時に消える」状態になります。
 
また、その後は３秒と７秒の最小公倍数である２１秒ごとに同じ状態になるので、黄色と赤色の電球が「光っている電球が同時に消える」状態になるのは、スタートから１０秒後、１０＋２１＝３１秒後、３１＋２１＝５２秒後、・・・であることが分かります。
 
これまでに分かったことをもとにして、青色と黄色の電球、黄色と赤色の電球が「光っている電球が同時に消える」状態になる時間を書き出してみると、
 
・青色と黄色の電球→７秒後、２２秒後、３７秒後、５２秒後、６７秒後、・・・
・黄色と赤色の電球→１０秒後、３１秒後、５２秒後、７３秒後、・・・
 
となるので、３つの電球が初めて「光っている電球が同時に消える」状態になるのは、スタートから５２秒後になります。