ある長さの線について、これを２等分する点を１個書きこみ、３等分する点を２個書きこみ、・・・・・・と続けます。３２等分する点を書きこむとき、すでに書かれた点と重ならない点は何個ですか。
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【とりあえず例題】
次のように、長さ１０cmの線を１０等分する点について考えてみます。
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両はしには印をつけないので、等分する点は全部で１０÷１－１＝９個です(植木算)。
１０を素数の積で表すと「２×５」になるので、１０は２または５で割り切れます。
つまり、２cmおき、５cmおきに印をつけていくと、それぞれ１cmおきにつけた印と重なる場合があるので調べてみると、
・２cmおきの印の数→１０÷２－１＝４個(左から２cm、４cm、６cm、８cmのところ)
・５cmおきの印の数→１０÷５－１＝１個(左から５cmのところ)
となるので、長さ１０cmの線を１０等分した点と重なるのは４＋１＝５個、そして重ならない点の数は９－５＝４個になります。
【ここから本題】
長さ３２cmの線を３２等分する点の数は、３２÷１－１＝３１個(左から１cmおき)です。
また、３２を素数の積で表すと「２×２×２×２×２」となるので、３２等分点と重なるのは、２cmおき、２×２＝４cmおき、２×２×２＝８cmおき、２×２×２×２＝１６cmおきに等分した点です。
・２cmおきの印の数→３２÷２－１＝１５個(左から２cm、４cm、６cm、８cm、・・・)
・４cmおきの印の数→３２÷４－１＝７個(左から４cm、８cm、１２cm、１６cm、・・・)
・８cmおきの印の数→３２÷８－１＝３個(左から８cm、１６cm、２４cm)
・１６cmおきの印の数→３２÷１６－１＝１個(左から１６cm)
ここでさっきの【例題】と同じように「１５＋７＋３＋１」なんて計算をしようと思ったあなたはアウトです。
なぜなら、４、８、１６はどれも２の倍数なので、印をつけた場所がすべて２cmおきの場所と重なっているからです(次の図を参照)。
例えば左はしから１６cmのところは４つの点が重なりますが、実際には印の数はひとつだけのはずです。
つまり、２cmおき、４cmおき、８cmおき、１６cmおきに等分した点の数の合計は、いちばん細かく印をつけた２cmおきの等分点である１５個になります。
１cmおきの点(３２等分点)は３１個、それ以外で重なる点が１５個なので、重ならない点の数は、３１－１５＝１６個になります。
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