ある長さの線について、これを２等分する点を１個書きこみ、３等分する点を２個書きこみ、・・・・・・と続けます。１８０等分する点を書きこむとき、すでに書かれた点と重ならない点は何個ですか。
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長さ１８０cmの線を１８０等分する点の数は、１８０÷１－１＝１７９個(左から１cmおき)です。
また、１８０を素数の積で表すと「２×２×３×３×５」となります。
つまり、１８０等分点と重なるのは、２cmおき、２×２＝４cmおき、２×３＝６cmおき、３×３＝９cmおき、２×５＝１０cmおき、２×２×３＝１２cmおき、・・・のようにたくさんあるのですが、大きく仲間分けすると、
・２cmおき(２の倍数)グループ
・３cmおき(３の倍数)グループ
・５cmおき(５の倍数)グループ
の３種類に分かれ、その３つのグループは次のベン図のような関係になっています。
※ 画像はクリックすると拡大します。
１cmおきの印の数である１７９個は、この図のアイウエオカキク(全体)です。
また、求めたいのはクだけなので、１７９個から図のアイウエオカキの数を引けばＯＫです。
・２cmおきの印の数→１８０÷２－１＝８９個(図のアエキカ)
・３cmおきの印の数→１８０÷３－１＝５９個(図のイエキオ)
・５cmおきの印の数→１８０÷５－１＝３５個(図のウオキカ)
・８９＋５９＋３５＝１８３個→図のアイウエエオオカカキキキ
ただ、これだと「エオカキキ」が余分なので、「エキ」と「オキ」と「カキ」を引いてから「キ」をたします。
「エキ」は２と３の公倍数グループ(最小公倍数は６)
６cmおきの印の数→１８０÷６－１＝２９個
「オキ」は３と５の公倍数グループ(最小公倍数は１５)
１５cmおきの印の数→１８０÷１５－１＝１１個
「カキ」は２と５の公倍数グループ(最小公倍数は１０)
１０cmおきの印の数→１８０÷１０－１＝１７個
「キ」は２と３と５の公倍数グループ(最小公倍数は３０)
３０cmおきの印の数→１８０÷３０－１＝５個
つまり、図のアイウエオカキの数は、１８３－２９－１１－１７＋５＝１３１個です。
求めるのは図のクにあてはまる数なので、１７９－１３１＝４８個になります。
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