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2011

立教池袋2011【9】 ☆比・食塩と水の量がそれぞれ比で表されている問題☆


食塩水AとBがあります。AとBの重さは40:81で、その中に含まれる食塩の重さの比は2:5、水の重さの比は1:2です。このAとBに、重さの比が2:1の食塩をそれぞれ加えると、AとBの重さの比が25:43になりました。次の問いに答えなさい。
 
(1)
初めのAの濃度は何%ですか。
 
(2)
食塩を加えた後のAの濃度は、初めのAの濃度の何倍ですか。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!




(1)
まずはそれぞれの食塩水について、「食塩水全体の重さ」、「食塩の重さ」、「水の重さ」の比をそれぞれ確認しておくと、
 
・食塩水A→全体の重さの比は40、食塩の重さは比の2、水の重さは比の1
・食塩水B→全体の重さの比は81、食塩の重さは比の5、水の重さは比の5
 
となっているので、食塩水AとBの重さを図で表すと次のようになります。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


riike901.png













最初の状態だと、この2つの食塩水は全体の重さはもちろん、食塩の重さも水の重さもそれぞれ異なっています。
 
ただし、水の重さはA:B=1:2なので、次の図のように食塩水Aを2つ用意すれば、水の重さだけはどちらも比の2でそろいます。


riike902.png






「食塩水A2つ」と「食塩水B」を次の図のように比べてみると、どちらも水の重さが同じ(比の2)なので、全体の重さの差は食塩の重さの差によって生じているはずです。

riike903.png







上の図の「食塩水A2つ」の重さは比の40×2=80、「食塩水B」の重さは比の81なので、食塩水全体の重さの差は比の81-80=1と表せます。
 
また、「食塩水A2つ」の食塩の重さの比は2×2=4、「食塩水B」の食塩の重さの比は5なので、食塩の重さの差も比の5-4=1となります。
 
つまり、この問題は「食塩水全体の重さ」を表す比の1と「食塩の重さ」を表す比の1がそろっているので、食塩水A全体の重さは比の40、そして食塩水Aに含まれる食塩の重さは比の2としてそのまま使えることが分かります。
 
以上から、食塩水Aの濃さは2÷40×100=5%になります。
 
【補足】
 
比がそろっているかどうかを確かめずに「Aの食塩の重さは比の2、食塩水全体の重さは比の40だから、Aの濃さは2÷40×100=5%でOKでしょ?」という軽いノリで答えを求めても正解なのが非常に悔しいです(笑)
 
ただし、こういう問題は比がそろっていない場合がほとんどなので、それを確かめようともせずに解いちゃう人は高い確率で痛い目を見るはずです。
 
 
(2)
最初の食塩水全体の重さの比はA:B=40:81、後で加えた食塩の重さの比はA:B=2:1ですが、その比をそのまま使って食塩水全体の重さをそれぞれ求めてみると、
 
・食塩水A→40+2=42
・食塩水B→81+1=82
 
となり、AとBの重さの比が25:43にはなりません。
 
※ つまり、「最初の食塩水全体の重さの比」と「後で加えた食塩の重さの比」がそろっていない。
 
そこで次の図のように、食塩を加えた後のAとBの重さの比である25:43を2倍して50:86にしてみると、
 
・食塩水A→食塩水全体の重さが40から50に増えたので、加えた食塩の重さは50-40=10
・食塩水B→食塩水全体の重さが81から86に増えたので、加えた食塩の重さは86-81=5
 
となり、しかも10:5は2:1と等しいので、2つの食塩水に追加した食塩の重さの比は、2:1ではなく10:5と表せばいいことが分かります。


riike904.png








したがって、食塩を追加した後の食塩水Aは、全体の重さが比の40+10=50、そして含まれる食塩の重さの比が2+10=12となるので、濃さは12÷50×100=24%になります。
 
つまり、食塩を加えた後の食塩水Aの濃さは24%、初めの濃さは5%なので、答えは24÷5=4.8倍になります。



 
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