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11/06

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2011

慶応中等部2011【4】 ☆平均・袋の中から取り出したカードの得点を求める☆


袋の中に赤色のカードと黄色のカードが5枚ずつ、合わせて10枚入っています。どちらの色のカードにも10、20、30、40、50という数がそれぞれ1つずつ書かれています。今、この袋から1枚ずつ順に10回カードを引きます。赤色のカードが出たら、その数がA君の得点になり、黄色のカードが出たら、その数がB君の得点になります。ただし、取り出したカードは戻さないものとします。
 
(1)
3回引いたところ、A君が20点、B君が10点と40点を取りました。1回目から5回目までの得点の合計はB君の方が80点高くなりました。6回目から10回目までのA君の得点の合計は(  )点です。
 
(2)
2回引いたところ、A君が40点、B君が30点を取りました。3回目から8回目までの得点の平均はA君の方が5点多くなりました。1回目から8回目までのB君の得点の平均は(  )点です。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!





(1)
3回目までの得点の合計は、A君が20点、B君が10+40=50点なので、その時点でB君はA君よりも50-20=30点多く取っています。
 
また、3回目を終えた時点で2人がまだ引いていないカードは、次の図のように、
 
・A君→10点、30点、40点、50点
・B君→20点、30点、50点
 
となっています。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


11111.png







5回目を終えたとき、B君の得点のリードが80点まで広がったので、B君は4回目と5回目で、A君よりも80-30=50点多く取る必要があります。
 
4回目と5回目の2回のうち、どちらか一方はA君、もう一方はB君がカードを取ったとすると、
 
・A君→最低でも10点は増やせる
・B君→最高でも50点しか増やせない
 
ので、B君はA君との差を最大で50-10=40点しか広げることができません。
 
したがって、4回目と5回目はどちらもB君がカードを取り、その2枚の合計が50点だったことが分かります。
 
3回目が終わった時点で、B君の残りのカードは「20点・30点・50点」の3枚なので、2枚の合計が50点となる組み合わせは「20点・30点」しかありません。
 
つまり、4回目と5回目はB君が「20点・30点」の2枚を取ったので、その時点で残りのカードは、次の図のように、
 
・A君→10点、30点、40点、50点
・B君→50点
 
となっています。


11112.png





上の図から、A君は6回目から10回目の間に、残り4枚のカードをすべて取ることが分かります。
 
したがって、A君の6回目から10回目までの得点は、10+30+40+50=130点になります。
 
 
(2)
1回目と2回目で、A君は40点、B君は30点のカードを取ったので、その時点で2人がまだ引いていないカードは、次の図のように、
 
・A君→10点、20点、30点、50点
・B君→10点、20点、40点、50点
 
となっています。


11113.png








3回目から8回目までの6回の平均はA君の方が5点高いので、この6回でA君はB君よりも5×6=30点多く取りました。
 
3回目から8回目までの6回のうち、もしA君が4回、B君が2回カードを取ったとすると、次の図のように、A君の得点はその4回で10+20+30+50=110点増えます。
 
そのとき、B君の2回分の得点が110-30=80点なら、3回目から8回目までの6回でA君の方が30点多く取ったことになるのですが、B君の残りのカードである「10点・20点・40点・50点」から2枚を選んで80点となる組み合わせはありません
 
したがって、3回目から8回目までの6回のうち、A君とB君は3回ずつカードを取ったことが分かります。


11114.png








2人が3回ずつカードを取り合い、A君の3枚のカードの合計がB君よりも30点多くなるのは、次の図のように、
 
・A君→20+30+50=100点を取る(考えられる中で最高得点の組み合わせ)
・B君→10+20+40=70点を取る(考えられる中で最低得点の組み合わせ)
 
のときしかありません。


11115.png










上の図から、B君は1回目または2回目に30点、そして3回目から8回目の間に「10点・20点・40点」のカードを取ったことが分かります。
 
以上から、B君の1回目から8回目までの平均点は(30+10+20+40)÷8=12.5点になります。





 
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