気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のような多角形ＡＢＣＤＥＦがあります。点Ｐは一定の速さで、点Ｂを出発点として点Ａまで、多角形ＡＢＣＤＥＦの周上を、Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ａの順に移動します。
 
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次のグラフは、点Ｐが出発してからの時間と三角形ＰＡＢの面積の関係を表しています。このとき、あとの問いに答えなさい。









(１)　グラフのアにあてはまる数はいくつですか。
 
(２)　点Ｐの速さは毎秒何㎝ですか。
 
(３)　グラフのイにあてはまる数はいくつですか。
 
 
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(１)
点Ｐは頂点ＢからＡまで「Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ａ」の順に進むので、グラフの折れ曲がっているポイントへＢからＡまで順に書き込んでみると次の図のようになります。
 
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上のグラフから、点ＰはＢＣ間を９秒、ＣＤとＤＥ間を合わせて１５－９＝６秒、ＥＦ間を２７－１５＝１２秒、ＦＡ間を３２－２７＝５秒かけて進むことが分かります。
 
また、次の図の辺ＤＥとＦＡの長さの合計は辺ＢＣの長さと等しいので、点Ｐが辺ＤＥとＦＡを進むのにかかる時間の合計は、辺ＢＣを進むのにかかる時間と同じく９秒です。











つまり、点Ｐが上の図のＤＥ間を進むのにかかる時間は９－５＝４秒なので、ＣＤ間を進むのに６－４＝２秒かかることも分かります。
 
グラフのアには、点Ｐが頂点Ｂを出発してから頂点Ｄへ到着するまでにかかる時間があてはまるので、答えは９＋２＝１１(秒)になります。
 
 
(２)
グラフから、三角形ＰＡＢの面積が最大になるのは、点Ｐが頂点ＣからＤの間を移動しているときであり、次の図のように点Ｐが頂点Ｃまで来たとき、三角形ＰＡＢの面積は２５２㎠になっています。











上の図で、点Ｐが頂点ＢからＣまで進むのにかかる時間は９秒、そして辺ＡＢの長さはＦＥとＤＣの長さの合計と等しいので、もし点Ｐが辺ＡＢ上を進んだら１２＋２＝１４秒かかります。
 
つまり、上の図の辺ＡＢとＢＣの長さの比は１４秒：９秒＝１４：９と表せるので、その比を使って三角形ＰＡＢの面積を求めてみると、１４×９÷２＝６３となります。
 
実際の三角形ＰＡＢの面積である２５２㎠は、比で求めた面積である６３の２５２÷６３＝４倍であり、４＝２×２なので、次の図のように辺ＡＢの長さを１４×２＝２８㎝、そして辺ＢＣの長さを９×２＝１８㎝にすれば、三角形ＰＡＢの面積が２８×１８÷２＝２５２㎠になってピッタリです。











つまり上の図のように、辺ＢＣの長さは１８㎝であり、点ＰはＢＣ間を９秒で進むことも分かっているので、点Ｐの進む速さは１８÷９＝毎秒２㎝になります。
 
 
(３)
グラフのイには、点ＰがＥＦ間を進んでいるときの三角形ＰＡＢの面積があてはまります。
 
次の図のように、点Ｐが頂点Ｆまで来たとき、三角形ＰＡＢの底辺はＡＢ、高さはＦＡになります。









グラフから、点ＰはＦＡ間を５秒で進むことが読み取れ、しかもさっきの問題で点Ｐの進む速さは毎秒２㎝であることも分かったので、辺ＦＡの長さは２×５＝１０㎝です。
 
したがって、グラフのイには２８×１０÷２＝１４０(㎠)があてはまります。