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南山女子2009【12】 ☆平面図形☆

4441.png












上の図のように半径6cm、円の4分の1の図形OABがあります。その円周の一部分であるABを3等分する点をとり、点Bに近いほうをCとします。また半径OBのまん中の点をDとします。このときぬりつぶした部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は3.14として計算しなさい。
 
※ 解説を見たい場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!


大まかに言うと、次の図おうぎ形全体からアとイの面積を引けば、求めたいウの面積が分かりそうです

4442.png











イは単なる直角三角形なので、面積は6×3÷2=9㎠とすぐ求められるのですが、おうぎ形のニセモノであるアの面積を求めるのはちょっと大変そうですね。
 
でもアの面積だって、次の図のアとエを合わせた面積(おうぎ形BOC)からエの面積を引けば求められます。

4443.png










点Cは孤BAを3等分している点なので、おうぎ形BOCの中心角は90÷3=30度です。
 
したがって、おうぎ形BOCの面積は6×6×3.14÷12=9.42㎠になります。
 
あとは上の図の三角形CODの面積を求めればOKです。辺DOの長さは3cmと分かっているので、高ささえ分かれば答えにたどりつけそうです。
 
というわけで、三角形CODの高さを求めるために、次のように点Cから点Aに向かって補助線をピシッと引いてみます。

4444.png











上の図の辺OCと辺OAは長さが等しい(どちらもおうぎ形の半径)ので、三角形COAは二等辺三角形です。
 
・・・というのは大ウソですね。
 
角COAが90-30=60度なので、残りの2つの内角も(180-60)÷2=60度ずつ、つまり3つの内角がすべて等しい正三角形になっています。
 
そこで今度は次の図のように、正三角形COAの頂点Cから真下に向かって垂線を引いてみると・・・
 
4445.png











上の図の赤い垂線CEによって、正三角形COAは左右2つの直角三角形に分けられます。
 
このとき、辺OAも辺OEと辺EAに2等分されるので、辺OEの長さは6÷2=3cmになります。
 
そして、この辺OEの長さである3cmは、次の図のように求めたかった三角形CODの高さになっているのです。

4445.png











つまり、三角形CODの面積は3×3÷2=4.5㎠、そして次の図のアの面積は9.42-4.5=4.92㎠になることが分かります。

4446.png










ここで次の図を使って今までの流れを振り返ってみると、おうぎ形BOAの面積は6×6×3.14÷4=28.26㎠、アの面積は4.92㎠、イの面積は9㎠になっています。
 
4447.png













以上から、ウの面積は28.26-(4.92+9)=14.34㎠になります。
 

 
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