気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図の三角形ＡＢＣで、点Ｐは辺ＢＣを１：２に分ける点、点Ｒは辺ＡＣを１：３に分ける点です。ＡＰとＢＲの交点をＱとすると、ＱはＡＰの真ん中の点になりました。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、三角形ＱＢＰの面積を１８㎠とします。
 
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(１)
三角形ＲＰＣの面積を求めなさい。
 
(２)
ＢＱ：ＱＲを求めなさい。ただし、最も簡単な整数の比で答えなさい。
 
 
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(１)
ＡＲとＲＣの長さの比は１：３なので、次の図のように、三角形ＡＢＣの高さは１＋３＝４と表せます。
 
また、ＡＱとＱＰの長さは等しいので１：１と表せるのですが、それだと三角形ＡＢＣの高さが１＋１＝２となってそろわないので、１：１ではなく２：２と表すことにします。
 
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次の図の辺ＢＰとＰＣは長さの比が１：２なので、その比も使って三角形ＱＢＰとＲＰＣの面積をそれぞれ比で求めてみると、
 
・三角形ＱＢＰ→底辺ＢＰが比の１、高さが比の２なので、面積は１×２÷２＝１
・三角形ＲＰＣ→底辺ＰＣが比の２、高さが比の３なので、面積は２×３÷２＝３
 
と表せます。












つまり、上の図の三角形ＲＰＣの面積はＱＢＰの３÷１＝３倍であり、ＱＢＰの面積が１８㎠であることも分かっているので、答えは１８×３＝５４㎠になります。
 
 
(２)
次の図の三角形ＡＰＲとＲＰＣは、底辺をそれぞれＡＲ、ＲＣとすると高さが共通なので、面積比は底辺比と同じく１：３になります。
 
また、さっきの問題で三角形ＲＰＣの面積は５４㎠であることが分かったので、三角形ＡＰＲの面積は５４÷３＝１８㎠です。















次の図の三角形ＲＡＱとＲＱＰは、底辺をそれぞれＡＱ、ＱＰとすると、底辺も高さも等しくなるので面積も同じです。
 
また、三角形ＡＰＲの面積は１８㎠なので、三角形ＲＡＱとＲＱＰの面積はどちらも１８÷２＝９㎠です。















次の図の三角形ＱＢＰとＲＱＰの面積比は１８㎠：９㎠＝２：１です。
 
また、この２つの三角形は底辺をそれぞれＢＱ、ＱＲとすると高さが共通なので、底辺比と面積比が等しいです。
 
したがって、ＰＱとＱＲの長さの比は２：１になります。