図のような直角三角形があります。点Ｐと点Ｑは頂点Ａを同時に出発します。点Ｐは三角形の辺上をＡ→Ｂ→Ｃ→Ａの順に、点Ｑは三角形の辺上をＡ→Ｃ→Ｂ→Ａの順に動きます。点Ｐの速さは毎秒２㎝、点Ｑの速さは毎秒３㎝です。
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(１) 出発してから５秒後の三角形ＡＢＱの面積は何㎠ですか。
(２) 出発してから５秒後の三角形ＡＰＱの面積は何㎠ですか。
(３) 出発してから１０秒後の三角形ＡＢＱの面積は何㎠ですか。
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(１)
点Ｑはスタートから５秒間でＡから３×５＝１４㎝進んだので、そのときの三角形ＡＢＱは次の図のようになっています。
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底辺をＡＱとすると高さはＢＣにあたるので、三角形ＡＢＱの面積は１５×７÷２＝５２.５㎠になります。
(２)
点Ｐはスタートから５秒間でＡから２×５＝１０㎝進んだので、そのときの三角形ＡＰＱは次の図の青色の部分のようになっています。
上の図の青と緑の三角形を、次の図のように辺ＢＡが底辺になるようにクルッと回転させて比べてみると、２つの三角形は高さが等しいので、底辺の長さの比がそのまま面積の比になります。
上の図の辺ＢＰと辺ＰＡの長さの比はＢＰ：ＰＡ＝１５：１０＝３：２なので、緑と青の三角形の面積比も緑：青＝３：２になっています。
三角形ＡＢＱの面積は５２.５㎠なので、三角形ＡＰＱの面積は５２.５×(５分の２)＝２１㎠になります(比例配分)。
(３)
スタートから１０秒後の点Ｐは２×１０＝２０㎝、点Ｑは３×１０＝３０㎝進むので、そのときの三角形ＡＰＱは次の図のようになっています。
いきなり三角形ＡＰＱの面積を求めるのは無理っぽいので、まずは次の図の青色の部分も含めた三角形ＡＢＱの面積を求めてみると、この三角形は底辺をＢＱ、高さをＡＣと考えることができ、その面積は１×２４÷２＝１２㎠になります。
次に、三角形ＡＢＱを底辺がＢＡになるように回転させてみると、これもさっきの問題と同じように２つの三角形の高さが同じなので、底辺比と面積比が等しくなります。
上の図の辺ＢＰと辺ＰＡの長さの比はＢＰ：ＰＡ＝５：２０＝１：４なので、青と緑の三角形の面積比も青：緑＝１：４になっています。
三角形ＡＢＱの面積は１２㎠なので、三角形ＡＰＱの面積は１２×(５分の４)＝９.６㎠になります(こちらも比例配分)。
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