次の図のような直角三角形ＡＢＣについて、辺ＢＣを底辺としたときの高さをＡＨとします。このとき、辺ＡＨの高さは( )㎝です。
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大まかに言うと、三角形ＨＡＢと三角形ＨＣＡが相似であることを利用して、辺ＡＨの長さを求めます。
というわけで、まずはその２つの三角形が相似であることの確認からスタートします。
次の図１のように、三角形ＡＢＣの内角は「直角」と「青色の角」と「緑色の角」でできています。
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次は下の図２のように、点線ＡＨの左右にできる２つの三角形に注目してみます。
左側の三角形ＨＡＢは、角ＡＢＨが青色の角、角ＡＨＢが直角なので、残りの角ＨＡＢは緑色の角になります。
また、右側の三角形ＨＣＡは、角ＨＣＡが緑色の角、角ＡＨＣが直角なので、残りの角ＨＡＣは青色の角になります。
つまり、この２つの三角形は内角がすべて等しいので相似の関係であることが分かります。
次は下の図３のように、相似である２つの三角形の向きをそろえて辺の長さの関係を調べてみます。
下の図の２つの三角形は相似なので、ＢＨ：ＨＡとＡＨ：ＨＣの比は同じになっているはずです。
仮に辺ＨＡの長さを□㎝とおくと、ＢＨ：ＨＡ＝９㎝：□㎝、ＡＨ：ＨＣ＝□㎝：１６㎝と表すことができます。
その２つの比が等しいので、９㎝：□㎝＝□㎝：１６㎝という比例式ができるのですが、比例式は次の図のように「内項と外項の積が等しい」という性質があるので、□×□の答えは９×１６＝１４４になることが分かります。
１４４を同じ数の積で表すと「１２×１２」となるので、辺ＡＨの長さは１２㎝になります。
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