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11/03

Wed

2010

横浜共立学園2010【4】 ☆平面図形・相似の利用☆

次の図のようなDCの長さが6㎝の平行四辺形ABCDがあります。点Pは辺AB上を動き、PCとBDの交わる点をQとします。APの長さが1㎝のとき、三角形PQDの面積は15㎠です。このとき、次の各問いに答えなさい。
 
※ 画像はクリックすると拡大します。

yokyo401.png






(1)
APの長さが1㎝のとき、BQとQDの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。また、そのときの三角形PBQの面積は何㎠になりますか。
 
(2)
APの長さが2㎝のとき、四角形APQDの面積は三角形PBQの面積の何倍ですか。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!


(1)
次の図の辺APの長さが1㎝のとき、辺PBの長さは6-1=5㎝になるので、三角形PBQとCDQは長さの比がPB:DC=5:6の8の字相似になります。
 
また、BQとQDの長さの比もPB:DCと等しいので5:6になります。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

yokyo402.png







次は下の図のように三角形PBQとPQDに注目してみると、この2つの三角形は底辺がBQ:QD=5:6で高さは等しいので、面積比は底辺比と同じく5:6になります。

yokyo403.png







つまり、三角形PBQの面積を□㎠とおくと、5:6=□㎠:15㎠という比例式ができるので、求める面積は5×15÷6=12.5㎠になります。
 
 
(2)
辺APの長さが2㎝のとき、辺PBの長さは6-2=4㎝になるので、三角形PBQとCDQは長さの比がPB:DC=4㎝:6㎝=2:3の8の字相似になります。
 
また、この2つの三角形の高さの比も2:3なので、下の図の辺ADの長さは2+3=5と表せます。

yokyo404.png







このとき、下の図の三角形PBQとABD、そして四角形APQDの面積をそれぞれ比で表してみると、
 
・三角形PBQ→底辺PBが4㎝=比の②、高さが②なので、面積は②×②=④
・三角形ABD→底辺ABが6㎝=比の③、高さが⑤なので、面積は③×⑤=⑮
・四角形APQD→三角形ABD-三角形PBQなので、⑮-④=⑪
 
となります。

yokyo405.png







以上から、四角形APQDの面積は三角形PBQの面積の⑪÷④=2.75倍になります。

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