図のように、１辺が２㎝の立方体の箱から上下２つの面を切り取った筒ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。上面の正方形ＡＢＣＤの対角線ＡＣとＢＤの交点をＭとし、Ｍの真上２㎝のところに光源Ｐを取り付けるとき、次の問いに答えなさい。
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(１)
面ＥＦＧＨを床につくように置くとき、床にできる筒の影の面積を求めなさい。
(２)
面ＥＦＧＨが床に平行で、床から２㎝の高さにあるとき、床にできる筒の影の面積を求めなさい。
(３)
面ＥＦＧＨが床に平行で、床から何㎝かの高さにあるとき、床にできる筒の影の面積が１０８㎠になります。面ＥＦＧＨは床から何㎝の高さにありますか。
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(１)
床に置いた筒を真正面から見ると次のような図になります。
このとき、光源Ｐと筒の上部にある点Ａ、Ｂを結ぶと青い二等辺三角形ＰＡＢができ、高さＰＭと底辺ＡＢの長さはどちらも２㎝になっています。
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次は下の図のように、床にできた影も含めた三角形ＰＩＪに注目してみると、この三角形は高さが２＋２＝４㎝、そして底辺ＩＪの長さも高さと同じく４㎝になっています。
※ 三角形ＰＩＪは三角形ＰＡＢと相似なので、底辺と高さが等しい。
つまり、次の図の正方形ＩＪＫＬは１辺の長さが４㎝、そして正方形ＥＦＧＨは１辺の長さが２㎝なので、床にできる影の面積は４×４－２×２＝１２㎠になります。
(２)
筒を床から２㎝持ち上げると、次のような図になります。
このとき、下の図の三角形ＰＩＪは三角形ＰＡＢと相似なので、底辺ＩＪの長さは高さと同じく６㎝になります。
次は下の図の緑色の三角形ＰＥＦに注目してみると、この三角形は底辺ＥＦが２㎝、そして高さが２＋２＝４㎝なので、底辺は高さの半分であることが分かります。
次の図の三角形ＰＱＲは三角形ＰＥＦと相似なので、底辺の長さは高さの半分になっています。
三角形ＰＱＲの高さは２×３＝６㎝なので、底辺ＱＲの長さは６÷２＝３㎝になります。
つまり、次の図の正方形ＩＪＫＬは１辺の長さが６㎝、そして正方形ＱＲＳＴは１辺の長さが３㎝なので、床にできる影の面積は６×６－３×３＝２７㎠になります。
(３)
たとえば次の図を見れば分かるように、影の外側にできる辺ＩＪは三角形の高さと等しく、影の内側にできる辺ＥＦは三角形の高さの半分になります。
したがって、影の面積が１０８㎠になったときの正方形ＩＪＫＬの１辺の長さを②とおくと、内側にできる正方形ＱＲＳＴの１辺の長さはその半分である①と表せます(次の図)。
上の図の正方形ＩＪＫＬの面積は②×②＝④、そして正方形ＱＲＳＴの面積は①×①＝①と表せるので、その差である④－①＝③が、影の面積である１０８㎠にあたります。
③が１０８㎠なら①は１０８÷③＝３６㎠、そして３６＝６×６なので、辺ＱＲや辺ＲＳの長さは６㎝であることが分かります。
下の図の辺ＱＲの長さが６㎝のとき、緑色の三角形ＰＱＲの高さはその２倍である１２㎝になります。
求めたいのは下の図の□㎝にあてはまる高さ(筒を床から何㎝持ち上げたか)なので、答えは１２－(２＋２)＝８㎝になります。
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