次の図のように、台形ＡＢＣＤの中に２つの正方形があります。ＡＥ：ＥＢ＝１：３、三角形ＡＥＦの面積は２４㎠です。
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(１)
ＥＢの長さを求めなさい。
(２)
台形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
(３)
ＡＢを軸として回転させてできた立体の体積を求めなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
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(１)
次の図のＥＢＨＦは正方形なので、辺ＥＢとＥＦの長さは同じです。
したがって、辺ＡＥとＥＢの長さの比が１：３なら、辺ＡＥとＥＦの長さの比も１：３と表せます。
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上の図の三角形ＡＥＦの面積を求める式はＡＥ×ＥＦ÷２＝２４㎠と表せるので、ＡＥ×ＥＦの答えは２４×２＝４８になります。
４８を２つの数の積で表すと、１×４８、２×２４、３×１６、４×１２、６×８となるのですが、その中で左右の数が３倍の関係になっているのは「４×１２」だけなので、ＥＦの長さ(つまりＥＢの長さ)は１２㎝になります。
※ ＡＥの長さが４㎝であることも分かります。
(２)
次の図の三角形ＡＥＦとＦＧＤは内角の関係から相似なので、三角形ＡＥＦの辺ＡＥとＥＦの長さの比が１：３なら、三角形ＦＧＤの辺ＦＧとＧＤの長さの比も１：３です。
また、ＧＨＣＤは正方形で辺ＧＤとＧＨの長さは同じなので、辺ＦＧとＧＤの長さの比が１：３なら、辺ＦＧとＧＨの長さの比も１：３と表せます。
上の図の辺ＦＨの長さはＥＢと同じく１２㎝なので、それを１：３に比例配分すれば辺ＦＧとＧＨの長さが求められます。
つまり、辺ＧＨの長さは１２×４分の３＝９㎝なので、辺ＤＣの長さも９㎝です。
これまでに分かったことをまとめてみると、次の図の台形ＡＢＣＤは、
・辺ＤＣの長さ→９㎝
・辺ＡＢの長さ→４＋１２＝１６㎝
・辺ＢＣの長さ→１２＋９＝２１㎝
なので、台形ＡＢＣＤの面積は(９＋１６)×２１÷２＝２６２.５㎠になります。
(３)
次の図のように、辺ＡＢを軸として台形ＡＢＣＤを回転させると、上には黄色い円すいが、そして下には青い円柱ができます。
円すいと円柱の底面にある円の半径は辺ＢＣの長さと等しいので２１㎝、円柱の高さは辺ＤＣと等しいので９㎝、そして円すいの高さはＡＢ－ＤＣ＝１６－９＝７㎝です。
上の図の黄色い円すいと青い円柱の体積をそれぞれ求めてみると、
・円すい→２１×２１×３.１４×７÷３＝３２３１.０６㎤
・円柱→２１×２１×３.１４×９＝１２４６２.６６㎤
となるので、答えは３２３１.０６＋１２４６２.６６＝１５６９３.７２㎤です。
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