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立教池袋2011【8】 ☆平面図形・正方形の内部を面積の等しい長方形と三角形に分けた図☆


次の図のように、正方形を面積が等しい長方形と三角形で11個に分けました。このとき、アの長方形の周りの長さは40㎝でした。次の問いに答えなさい。
 
※ 画像はクリックすると拡大します。


riike801.png












(1)
ABとBCとCDの長さの比をもっとも簡単な整数で表しなさい。
 
(2)
この正方形の面積は何㎠ですか。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!




 


(1)
次の図の三角形DAFの内部は、面積が等しい4つの三角形に分かれているので、三角形CAFとDCFの面積比は3:1と表せます。
 
また、三角形CAFの底辺をAC、三角形DCFの底辺をCDとすると、この2つの三角形は高さが等しいので、底辺ACとCDの長さの比は、面積比と同じく3:1になります。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


riike802.png








次の図の三角形BAEの底辺をAB、三角形CBEの底辺をBCとすると、この2つの三角形は面積も高さも等しいので、底辺ABとBCの長さも同じです。
 
さっき、辺CDの長さを比の1とおくと、辺ACの長さは比の3と表せることが分かったので、辺ABとBCの長さはどちらも比の3÷2=1.5と表せます。


riike803.png












つまり、辺ABとBCの長さはどちらも比の1.5、そして辺CDの長さは比の1と表せるので、辺ABとBCとCDの長さの比は、1.5:1.5:1=3:3:2になります。
 
 
(2)
次の図のように、正方形の内部には「長方形ア」と「三角形イ~サ」があり、それらによって正方形の面積は11等分されています。
 
この図の青い長方形アと黄色い長方形イウ(三角形2個分)はたての長さが等しく、面積比が1:2なので、横の長さも面積比と同じく1:2と表せます。
 
また、その比を使って正方形の1辺の長さを表すと、1+2=3となります。


riike804.png













次の図の緑色の長方形エオカキクケコサ(三角形8個分)と青い長方形アイウ(三角形3個分)は、横の長さが等しく、面積比が8:3なので、たての長さも面積比と同じく8:3と表せます。
 
また、その比を使って正方形の1辺の長さを表すと、8+3=11となります。


riike805.png












正方形の1辺の長さは縦も横も同じはずなのに、1辺の長さが一方の比(1:2)では3、もう一方の比(8:3)では11となってしまったので、その2つの比の合計を3と11の最小公倍数である33にそろえてみると、
 
・「1:2」を11倍→11:22
・「8:3」を3倍→24:9
 
となるので、次の図のように、長方形アのたての長さは比の9、横の長さは比の11と表せることが分かります。


riike806.png












長方形アの周りの長さは40㎝なので、たてと横の長さの合計は40÷2=20㎝です。
 
上の図を見れば分かるように、長方形アはたての長さの比が9、横の長さの比が11なので、比の9+11=20が20㎝にあたります。
 
つまり、比の1は20÷20=1㎝なので、正方形の1辺の長さ(比の33)は1×33=33㎝、そして正方形の面積は33×33=1089㎠になります。




 
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