次の図のような円形の時計があります。その文字盤には、円周を６０等分した「分」を表す目盛りがあります。
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(１)
次の時刻のうち、短針、長針がともに目盛りを指している場合をすべて選び、番号で答えなさい。
① 午前０時１５分 ② 午前２時３６分 ③ 午前４時４４分
④ 午前８時０３分 ⑤ 午前１０時１２分
さらに、一定の速さで回転する第３の針(秒針ではない)を考えます。この針の回転と中心の向きは、時計の針と同じです。次の問いに答えなさい。
(２)
午前のある時刻に、第３の針がある目盛りを指していました。このとき、第３の針から、短針は反時計回りに１２番目の目盛りを、長針は時計回りに１２番目の目盛りをそれぞれ指していました。この時刻は午前何時何分ですか。
(３)
その後、１２時間以内のある時刻に、第３の針がある目盛りを指していました。このとき、第３の針から、短針は時計回りに１２番目の目盛りを、長針は反時計回りに１２番目の目盛りをそれぞれ指していました。この時刻は午前何時何分ですか。
(４)
(２)の時刻から(３)の時刻の間に第３の針が短針を１０回追い越したとすると、第３の針が１回転するのにかかる時間は何分何秒ですか。
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(１)
①から⑤はすべて長針が目盛りを指していることは間違いないので、あとは短針のことだけを調べていけばＯＫです。
「分」の目盛りは１周３６０度を６０等分しているので、目盛りの間隔は３６０÷６０＝６度ずつになっています。
また、短針は１分間で３０÷６０＝０.５度ずつ進むので、短針の動いた角度が６の倍数であればちょうど目盛りを指していることになります。
例えば①の午前０時１５分の場合、短針は０時のときから０.５×１５＝７.５度動きましたが、それは６の倍数ではないので目盛りを指してはいません。
②から⑤も同じように調べてみると、
② ０.５×３６＝１８度→６の倍数なのでＯＫ
③ ０.５×４４＝２２度→６の倍数ではないのでダメ
④ ０.５×３＝１.５度→６の倍数ではないのでダメ
⑤ ０.５×１２＝６度→６の倍数なのでＯＫ
となることから、答えは②と⑤の２つになります。
(２)
短針がちょうど目盛りを指しているのは０分、１２分、２４分、３６分、４８分のときだけなので、その５通りの中で条件にあてはまるものを見つけていきます。
例えば「０分」のときで考えてみると、次のような図になります。
※ 図の青色は短針、オレンジ色は長針、緑色は第３の針を表しています。
上の図の長針と短針の目盛りをそのまま読むと「０時２４分」になりますが、「００分」以外のときに短針が０時ちょうどを指しているのはおかしいのでダメです。
次は短針が１２個目の目盛りを指しているときを考えてみると、下の図のように「２時３６分」と読めます。
ただ、短針は６０分で５目盛り、つまり１２分で１目盛りずつ進むはずなのに、下の図だと短針は「２時」の位置から２目盛りしか進んでいません。
３６分なら「２時」の位置から３６÷１２＝３目盛り進んでいるはずなので、この図も間違いだと分かります。
次は短針が２４個目の目盛りを指しているときを考えてみると、下の図のように「４時４８分」と読めます。
このとき、短針は「４時」の位置からちょうど４８÷１２＝４目盛りの位置に来ているので、この図はバッチリＯＫです。
以上から、答えは午前４時４８分になります。
(３)
さっきの問題と同じように、短針がちょうど０分、１２分、２４分、３６分、４８分の目盛りを指しているときの中から条件にあてはまるものを見つけていきます。
次の図は短針が「０分」と「１２分」の位置を指しているときの図です。
短針が「０分」の位置を指している図は「０時３６分」と読み取れますが、３６分なら短針は「０時」の位置から３６÷１２＝３目盛り進んでいなければおかしいのでアウトです。
また、短針が「１２分」の位置を指している図は「２時４８分」と読み取れますが、４８分なら短針は「２時」の位置から４８÷１２＝４目盛り進んでいるはずなのでこちらもダメです。
次の図は短針が「２４分」と「３６分」の位置を指しているときの図です。
短針が「２４分」の位置を指している図は「４時００分」と読み取れますが、００分なら短針はちょうど「４時」の位置にいるはずなのでダメです。
一方、短針が「３６分」の位置を指している図は「７時１２分」と読み取れますが、この図は短針が「７時」の位置からちょうど１２÷１２＝１目盛り進んでいるのでＯＫです。
以上から、答えは午前７時１２分になります。
(４)
午前４時４８分から７時１２分までは、７時１２分－４時４８分＝２時間２４分＝１４４分間あります。
その間、短針は「２４分」の位置から「３６」分の位置までしか動かないので、第３の針が４時４８分のときにいる「３６分」の位置からちょうど１０周したとき、短針を１０回追い抜いたことになります。
しかし実際には次の図のように、第３の針は７時１２分の時点で「３６分」の位置からさらに４８目盛り進んだ「２４分」の地点まで来ていました。
つまり、第３の針は４時４８分から７時１２分までの１４４分間に、
・短針を１０回追い抜いた→６０×１０＝６００目盛り進んだ
・さらに「３６分」から「２４分」までの４８目盛り進んだ
ことから、全部で６００＋４８＝６４８目盛り進んだことになります。
また、１４４分間で６４８目盛りなら、１分間で６４８÷１４４＝４.５目盛り進むことも分かります。
そのペースで１周分(つまり６０目盛り)進むのにかかる時間は、６０÷４.５＝１３と３分の１分、つまり１３分２０秒になります。
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