中国上海万国博覧会のテーマパークの人気アトラクションには開門と同時に人が列を作り始め、午前９時４５分の第１回目の入館の直前には２８０人が並んでいました。入館は６分ごとに一定人数ずつ行いますが、入館待ちの行列には１分間に８人の割合で人が増え、１１回目の入館直後には３６４人が並んでいました。また、最終の入館時間は午後８時４５分となっています。
(１)
最終の入館は第何回目の入館ですか。
(２)
１回ごとの入館人数は何人ですか。
(３)
１日の入館人数は最高で何人までですか。
(４)
午前１０時から午前１０時１分までの間に並んだ８人が入館したのは何時何分ですか。
(５)
正午には何人の人が入館待ちの列に並んでいますか。
(６)
入館待ちの行列に加わる人の数は午後３時からは１分間に６人の割合に、さらに午後６時からは１分間に３人の割合に減りました。最終の入館時刻を厳守するならば、午後何時何分に並ぶ人で行列を終わらせればよいですか。
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(１)
午前９時４５分から午後８時４５分までは、２０時－９時＝１１時間＝６６０分間あります。
６６０÷６＝１１０なので、次の図のように６分ごとにやってくる入館時間と入館時間の間は１１０か所あります。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
入館時間(上の図の赤い○)印は間の数よりも１回多いので、最終の入館は最初から数えて１１０＋１＝１１１回目になります。
※ 両はしに木を植えるとき、木の数＝間の数＋１となることを利用しました。
(２)
１１回目の入館時間までに、６分の間が１１－１＝１０回あるので、１１回目の入館時間は、午前９時４５分から６×１０＝６０分後です。
最初から並んでいた２８０人にくわえて、その６０分間で行列が８×６０＝４８０人増えたので、その合計は２８０＋４８０＝７６０人になりました。
ただし、１１回の入館で行列が合計□人減ったので、次の図のように６０分後には行列が３６４人になっていました。
つまり、１１回目までに入館した人の合計は７６０－３６４＝３９６人なので、１回あたりの入館人数は３９６÷１１＝３６人になります。
(３)
３６人ずつ１１１回まで入館できるので、最高で３６×１１１＝３９９６人になります。
(４)
午前９時４５分から１０時１分までの１６分間で、行列は新たに８×１６＝１２８人増えるので、最初から並んでいた２８０人を合わせると、入館待ちのために並んだ人数の合計は２８０＋１２８＝４０８人になります。
４０８÷３６＝１１余り１２なので、１０時から１０時１分までの間に並んだ８人は、次の図のように最初から数えて１１＋１＝１２回目の入館のときに入場できます。
１２回目の入館は最初から数えて６×１１＝６６分後なので、答えは９時４５分＋６６分＝１０時５１分になります。
(５)
９時４５分から正午までは１２時－９時４５分＝２時間１５分＝１３５分なので、最初から待っていた２８０人にくわえて、さらに８×１３５＝１０８０人が行列に並びます。
したがって、正午までに入館のために並んだ人の合計は２８０＋１０８０＝１３６０人になります。
また、１３５÷６＝２２余り３なので、正午までに２２＋１＝２３回の入館が行われ、入場した人の合計は３６×２３＝８２８人になります。
したがって、正午の時点で並んでいる人の合計は、１３６０－８２８＝５３２人になります。
(６)
午前９時４５分から午後６時までの間に行列に加わった人は、
・最初から並んでいた２８０人
・午前９時４５分から午後３時までの３１５分間に並んだ８×３１５＝２５２０人
・午後３時から午後６時までの１８０分間に並んだ６×１８０＝１０８０人
の３種類に分けられるので、その合計は２８０＋２５２０＋１０８０＝３８８０人になります(次の図参照)。
(３)の問題で、午前９時４５分から午後８時４５分までの間に入館できる人数が最大で３９９６人であることが分かっているので、午後６時以降に入館可能な人数は３９９６－３８８０＝１１６人になります。
午後６時からは行列に加わる人数が毎分３人になるので、残りの１１６人が並ぶのにかかる時間は１１６÷３＝３８と３分の２分です。
※ つまり、午後６時から３８分４０秒後。
以上から、答えは午後６時３８と３分の２分になります。
【補足】
(６)は、最初は「午後６時３８分」を正解として採点が行われましたが、後日「午後６時３８と３分の２分」も正解とすることが正式に発表されました。
個人的には、問題文に「分」の単位を整数で答えるように指示されていないこと、そして計算上の答えは３８分ジャストではないことをふまえると、「３８分」を正解とするのはおかしいと思います。
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