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2011

白百合2011【5】 ☆立体図形・軸を中心に1回転させたときにできる立体の体積☆


1マス2㎝の方眼用紙に次の図の斜線部分のような図形をかきました。この図形をABを軸として回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。ただし、底面が合同で高さが等しい円柱と円すいの体積の比は3:1です。また、円周率は3.14とします。
 
※ 画像はクリックすると拡大します。


11sira501.png













※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!



 


次の図のように、軸ABの右側をア・イ・ウの3か所に分け、ABを回転させたときにそれぞれの立体の体積が何㎤になるのかを求め、最後にそれを足せばOKです。
 
結論を先に言うと、
 
・アを1回転→円すい台(プリンみたいな形)ができる
・イを1回転→小さな円柱ができる
・ウを1回転→大きな円柱から中くらいの円柱をくり抜いたドーナツみたいな立体ができる
 
となるのですが、途中で計算の工夫をしないとちょっと面倒なことになります。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


11sira502.png













【アを1回転させたときにできる立体の体積】
 
次の図のエとアを1回転させたときにできる円すいの体積から、エを1回転させたときにできる円すいの体積を引けば、アを1回転させたときにできる立体の体積が求められます。
 
また、図のCDE、FGC、FHEの3つは内角の関係から相似で、CDEは1辺2㎝の直角二等辺三角形なので、FGCは1辺が1+2=3㎝の直角二等辺三角形、そしてFHEは1辺が1+2+2=5㎝の直角二等辺三角形になっています。


3ad71fe0.png













次の図のように軸ABを1回転させると、エは底面の半径と高さがどちらも3㎝の円すい、そして「エとアを合わせた形」は底面の半径と高さがどちらも5㎝の円すいになります。
 
底面の半径と高さがどちらも3㎝の円すいの体積は3×3×3.14×3÷3=9×3.14、そして底面の半径と高さがどちらも5㎝の円すいの体積は5×5×3.14×5÷3=3分の125×3.14です。
 
したがって、アを1回転させてできる立体(円すい台)の体積は、3分の125×3.14-9×3.14=3分の98×3.14㎤となりますが、分数と3.14をかけ合わせるとややこしそうなのでとりあえず放置しておきます。


11sira504.png










【イを1回転させたときにできる立体の体積】
 
イを1回転させると、次の図のように底面の半径が1㎝、高さが2㎝の円柱になります。
 
その円柱の体積は1×1×3.14×2=2×3.14㎤となるのですが、さっき「×3.14」の部分を計算せずにそのまま放置したので、こちらも同じ状態で残しておきます。


11sira505.png













【ウを1回転させたときにできる立体の体積】
 
ウを1回転させると、次の図のようなドーナツ型の立体ができるので、その体積を求めるには、底面の半径が5㎝、高さが2㎝の円柱の体積から、底面の半径が3㎝、高さが2㎝の円柱の体積を引けばOKです。
 
底面の半径が5㎝、高さが2㎝の円柱の体積は5×5×3.14×2=50×3.14㎤、そして底面の半径が3㎝、高さが2㎝の円柱の体積は3×3×3.14×2=18×3.14㎤です。
 
したがって、ウを1回転させてできる立体の体積は50×3.14-18×3.14=32×3.14㎤となります。


11sira506.png








これまでに分かったことをまとめてみると、
 
・アを1回転させたときにできる立体の体積→3分の98×3.14㎤
・イを1回転させたときにできる立体の体積→2×3.14㎤
・ウを1回転させたときにできる立体の体積→32×3.14㎤
 
となるので、とりあえず3つの式の「×3.14」以外の部分を足してみると、3分の98+2+32=3分の200になります。
 
※ 分子が200になってキリがいい。計算がしやすくなってハッピー。
 
以上から、答えは3分の200×3.14=3分の628㎤になります。




 
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