水そうに給水口が付いていて、給水口を開けると水そうに１分間あたり３％の食塩水が入ります。また、水そうは十分に大きく、食塩水があふれ出ることはありません。
(１)
はじめに水そうに９％の食塩水７００ｇが入っているとき、給水口を開けてから５分後の水そうの食塩水の濃さを求めなさい。
(２)
水そうを空にしてから、濃さも重さも分からない食塩水を入れました。その後、給水口を開けて水そうに食塩水を入れていくと、給水口を開けてから４分後の水そうの食塩水の濃さは６％で、給水口を開けてから１０分後の水そうの食塩水の濃さは５％でした。はじめに水そうに入れた食塩水の濃さと重さを求めなさい。
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(１)
５分間で水そうに流れ込んだ食塩水の量は、１００×５＝５００ｇです。
したがって、「濃さ３％の食塩水５００ｇ」と「濃さ９％の食塩水７００ｇ」を混ぜてできる食塩水の濃度を、次のような天びん図を使って求めてみます。
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上の図のように、重さの比が左：右＝５００：７００＝⑤：⑦なので、長さの比は左：右＝⑦：⑤になります。
※ 重さの逆比は長さの比
このとき、９－３＝６％が青い比の⑦＋⑤＝⑫にあたるので、青い比の①は６％÷⑫＝０.５％になります。
求める濃度(図の□％)は左はしの３％から０.５×⑦＝３.５％進んだ地点にあるので、答えは３＋３.５＝６.５％になります。
(２)
最初の４分間で水そうに流れ込んだ食塩水の量は１００×４＝４００ｇ、その後の１０－４＝６分間で流れ込んだ食塩水の量は１００×６＝６００ｇです。
次の図１のように、スタートから４分後には水そうの食塩水の濃度が６％だったのですが、それから６分間で濃さ３％の食塩水を６００ｇ追加したので、水そうの食塩水の濃度は図２のように５％へと変化しました。
このとき、上の図２では「濃さ６％の食塩水○ｇ」と「濃さ３％の食塩水６００ｇ」を混ぜたら「濃さ５％の食塩水」ができたので、その様子を天びん図に表すと次のようになります。
この天びん図は支点の左側の長さが５－３＝２％、右側の長さが６－５＝１％になので、うでの長さの比は左：右＝②：①になります(青い比)。
また、長さの逆比は重さの比なので、左右の重さの比は左：右＝①：②です(赤い比)。
赤い比の①が６００ｇにあたるので、図の○ｇは６００×②＝１２００ｇになります。
つまり、図１の水そうに最初から入っていた食塩水の量は、次の図のように１２００－４００＝８００ｇになります。
このとき、図１の水そうの中では「濃さ□％の食塩水８００ｇ」と「濃さ３％の食塩水４００ｇ」が混ざって「濃さ６％の食塩水１２００ｇ」ができたので、その様子を次のような天びん図に表してみます。
上の図の重さの比は左：右＝４００：８００＝①：②なので、長さの比は左：右＝②：①になります。
青い比の②が６－３＝３％なので、青い比の①は３÷②＝１.５％です。
したがって、図の□には６＋１.５＝７.５％があてはまります。
以上から、最初から水そうに入っていた食塩水の濃さは７.５％、重さは８００ｇになります。
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