下の展開図で表される角柱について、次の問いに答えなさい。
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(１)
この立体の体積を求めなさい。
(２)
辺ＣＥの真ん中の点をＭとし、この立体を３点Ａ、Ｂ、Ｍを通る平面で切るとき、点Ｃを含む立体の体積を求めなさい。ただし、角すいの体積は「底面積×高さ×３分の１」です。
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(１)
直角三角形ＣＤＥを底面としてこの展開図を組み立ててみると、次の図のような三角柱ができます。
この三角柱の底面積は８×６÷２＝２４㎠、そして高さは８㎝なので、体積は２４×８＝１９２㎤になります。
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(２)
三角柱を切断するために辺ＢＡからナイフを入れて点Ｍに向けてスパッと切断するとき、切断面は点Ｎも含めた台形ＢＭＮＡになります。
また、点Ｍは辺ＣＥの真ん中なので、点Ｎも辺ＤＥの真ん中になります。
次の図のように、切断面を辺ＭＮからさらに下へ伸ばし、辺ＦＥも下へ延長すると点Ｌで交わります。
この図の三角形ＢＬＦとＭＬＥは内角がすべて等しいので相似であり、長さの比はＢＦ：ＭＥ＝１０㎝：５㎝＝２：１です。
つまり、辺ＦＬとＥＬの長さの比も２：１なので、辺ＥＬの長さの比は２－１＝１となります。
※ 辺ＦＥとＥＬはどちらも長さの比が１なので、辺ＥＬの長さはＦＥと同じく８㎝。辺ＦＬの長さは比の２なので８×２＝１６㎝。
また、次の図のように三角形ＢＡＦとＭＮＥを比べてみると、この２つの三角形も内角がすべて等しいので相似であり、長さの比はＢＦ：ＭＥ＝２：１です。
つまり、辺ＭＮはＢＡの半分にあたる４㎝、辺ＥＮはＦＡの半分にあたる３㎝なので、三角形ＢＡＦの面積は８×６÷２＝２４㎠、ＭＮＥの面積は４×３÷２＝６㎠です。
次の図の三角すいＬ－ＦＢＡとＬ－ＥＭＮはどちらも底面積と高さが分かったので、体積をそれぞれ求めてみると、
・三角すいＬ－ＦＢＡ→２４×１６×３分の１＝１２８㎤
・三角すいＬ－ＥＭＮ→６×８×３分の１＝１６㎤
となるので、下の図の黄色い立体の体積は１２８－１６＝１１２㎤です。
※ 下の図の三角すいは長さの比が２：１の相似なので、体積比は２×２×２：１×１×１＝８：１。つまり、黄色い部分の体積は比の８－１＝７にあたるので、１６×７＝１１２㎤と求めてもＯＫ。
次の図の三角柱全体の体積は１９２㎤、そして黄色い部分の立体は１１２㎤なので、点Ｃを含む青い立体の体積は１９２－１１２＝８０㎤になります。
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