08/16
Tue
2011
(１)
四角すいＰＡＢＣＤは、次の図のように辺ＤＡが４㎝、辺ＡＢが１２㎝、そして高さが８㎝です。
「○○すい」の体積は「底面積×高さ÷３」で求められるので、答えは４×１２×８÷３＝１２８㎤になります。
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(２)
この直方体を次の図のように右側から見ると、点Ｐは辺ＥＦの中点なので、三角形ＰＡＢは辺ＰＡ＝ＰＢの二等辺三角形です。
また、点Ｑは辺ＰＡの中点、点Ｒは辺ＰＢの中点なので、辺ＰＱとＰＲの長さは辺ＰＡとＰＢの長さの半分になっています。
つまり、上の図の三角形ＰＱＲとＰＡＢは相似であり、辺の長さの比は１：２なので、
・辺ＱＲの長さはＡＢの半分にあたる６㎝
・三角形ＰＱＲの高さは辺ＥＡの半分にあたる４㎝
となります。
また、上の図のように点Ｑから左へ直線をのばしたときの辺ＥＡとの交点をＳ、点Ｒから右へ直線をのばしたときの辺ＥＡとの交点をＴとすると、辺ＳＱとＲＴの長さはどちらも(１２－６)÷２＝３㎝になります。
次の図のように、直方体を底面から高さ４㎝のところにあるピンク色の平面ＳＴＵＶで切断し、上半分はゴミ箱にポイすると、残った下半分の体積は４×１２×４＝１９２㎤になります。
※ 残った下半分の立体は直方体です。
さらに、残した下半分を次の図のようにピンク色の平面ＳＴＣＤで切断し、右下だけ残すと、残った立体の体積は１９２÷２＝９６㎤になります。
※ 残った右下の立体は三角柱です。
さっき残した右下の三角柱から、次の図のように緑色の２か所を切断してゴミ箱にポイすると、この問題で求めたい立体ＱＲＡＢＣＤだけが残ります。
下の図の緑色の２か所の立体のうち、手前にあるＳＤＡＱは三角すいであり、底面を三角形ＳＤＡとすると高さは辺ＳＱにあたります。
三角形ＳＤＡは辺ＤＡとＳＡがどちらも４㎝なので面積は４×４÷２＝８㎠、そして辺ＳＱの長さが３㎝であることもすでに確認済みなので、三角すいＳＤＡＱの体積は８×３÷３＝８㎤です。
また、緑色のもう１か所の部分であるＴＣＢＲはＳＤＡＱと合同な三角すいなので体積は８㎤です。
つまり、立体ＱＲＡＢＣＤの体積は上の図の切断前の三角柱の体積である９６㎤から、合同な緑色の三角すい２個分の体積にあたる８×２＝１６㎤を引けば求められるので、答えは９６－１６＝８０㎤になります。
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