気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように、同じ大きさの立方体の積み木を、１段目に４９個、２段目に２５個、３段目に９個、４段目に１個積み重ねます。その立体の底の部分も含めて表面全体に色を塗りました。それを１つ１つの積み木に戻したとき、それらの積み木は色が塗られている面の数が０、１、２、３、４、５のどれかになっています。色が塗られている面の数が０、１、２、３、４、５となる立方体の積み木はそれぞれ何個ありますか。
 
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【色の塗られている面が１つもない積み木の数】
 
次の図を見れば分かるように、３段目の真ん中にある積み木は、上の面を４段目の積み木、下の面を２段目の積み木、側面を３段目の積み木に囲まれているので、色の塗られている面が１つもありません。
 
また、２段目の内側にある３×３＝９個の積み木も、上の面を３段目の積み木、下の面を１段目の積み木、側面を２段目の積み木に囲まれているので、色の塗られている面が１つもありません。
 
したがって、色の塗られている面が１つもない積み木の数は、全部で１＋９＝１０個になります。
 
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【１面だけ色が塗られている積み木の数】
 
次の図を見れば分かるように、１段目の内側にある５×５＝２５個の積み木は、上の面を２段目の積み木、側面を１段目の積み木に囲まれているので、底面だけに色が塗られています。
 
１面だけ色が塗られている積み木は他の段にはないので、答えは２５個になります。











【色の塗られている面が２つの積み木の数】
 
次の図を見れば分かるように、３段目の外周の中央にある１×４＝４個の積み木は、下の面を２段目の積み木、側面のうちの３つを３段目の積み木に囲まれているので、色の塗られている面が２つになっています。
 
また、２段目の外側にある３×４＝１２個の積み木も、下の面を１段目の積み木、側面のうちの３つを２段目の積み木に囲まれているので、色の塗られている面が２つです。
 
したがって、色の塗られている面が２つの積み木の数は、全部で４＋１２＝１６個になります。













【色の塗られている面が３つの積み木の数】
 
次の図を見れば分かるように、３段目の外側の角にある１×４＝４個の積み木は、下の面を２段目の積み木、側面のうちの２つを３段目の積み木に囲まれているので、色の塗られている面が３つになっています。
 
また、２段目の外側の角にある１×４＝４個の積み木も、下の面を１段目の積み木、側面のうちの２つを２段目の積み木に囲まれているので、色の塗られている面が３つです。















上の図の１段目の外周にある５×４＝２０個の積み木は、側面のうちの３つを１段目の積み木に囲まれているので、色の塗られている面が３つになっています。
 
したがって、色の塗られている面が３つの積み木の数は、全部で４＋４＋２０＝２８個になります。
 
【色の塗られている面が４つの積み木の数】
 
次の図を見れば分かるように、１段目の外側の角にある１×４＝４個の積み木は、側面のうちの２つを１段目の積み木に囲まれているので、色の塗られている面が４つになっています。
 
色の塗られている面が４つの積み木は他の段にはないので、答えは４個になります。










【色の塗られている面が５つの積み木の数】
 
次の図を見れば分かるように、４段目の積み木は、下の面だけが３段目と接していて色が塗れないので、色の塗られている面が５つになっています。
 
色の塗られている面が５つの積み木は他の段にはないので、答えは１個になります。