気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように等間隔に縦５個、横５個に並んだ合計２５個の点があります。これらの点から４個を選び、それらを頂点とする正方形を作ります。このとき、次の問いに答えなさい。
 
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(１)
アのように、各辺が縦、横の向きになっている正方形は全部で何個できますか。
 
(２)
イのように、各辺が縦、横の向きになっていない正方形は全部で何個できますか。






 
 
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(１)
各辺が縦、横の向きになっている正方形は全部で４種類できるので、今からそれらを小さい順に数えていきます。
 
次の図１のような最小の正方形は、縦に４個、横にも４個並べることができるので、全部で４×４＝１６個作れます。
 
また、図２のような２番目に小さい正方形は、縦に３個、横にも３個並べることができるので、全部で３×３＝９個できます。
 
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次の図３のような２番目に大きい正方形は、縦に２個、横にも２個並べることができるので、全部で２×２＝４個作れます。
 
また、図４のような最大の正方形は１個しか作れません。








以上から、各辺が縦、横の向きになっている正方形は、全部で１６＋９＋４＋１＝３０個作れます。
 
 
(２)
各辺が縦、横の向きになっていない正方形は、大きさや向きによって６種類に分けることができます。
 
次の図１のような、内部に点が１個だけある正方形は、縦に３個、横にも３個並べることができるので、全部で３×３＝９個作れます。
 
また、図２のような内部に点が５個ある正方形は１個しか作れません。








次の図３のような、内部に点が４個ある正方形は、縦に２個、横にも２個並べることができるので、全部で２×２＝４個作れます。
 
また、図４の正方形は図３の正方形と傾きが逆になっただけなので、こちらも４個作れます。








次の図５のような、内部に点が９個ある正方形は１個しか作れません。
 
また、図６の正方形は図５の正方形と傾きが逆になっただけなので、こちらも１個しか作れません。








以上から、各辺が縦、横の向きになっていない正方形は、全部で９＋１＋４＋４＋１＋１＝２０個作れます。