10/03
Mon
2011
次の図のように、青い直角二等辺三角形が底面、黄色い直角二等辺三角形が真上の面、そして残りの３つの台形が側面となるように展開図を折り曲げて立体を作ります。
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展開図を組み立てると、次の図のような青い立体ＡＢＣＤＥＦができます。
この立体の底面にあるＤＥＦは１辺４㎝の直角二等辺三角形、真上にあるＡＢＣは１辺２㎝の直角二等辺三角形なので、三角形ＡＢＣとＤＥＦは相似です。
青い立体ＡＢＣＤＥＦの体積を求めるには、次の図の三角すいＰＤＥＦの体積から、黄色い三角すいＰＡＢＣの体積を引けばＯＫです。
ただ、三角すいＰＡＢＣの高さにあたる辺ＰＡが何㎝なのかは今のところ分かっていません。
次の図は、三角すいＰＤＥＦを三角形ＰＤＥが正面になるように見たときの様子を表しています。
この図の三角形ＰＡＢとＰＤＥは内角がすべて等しいので相似であり、対応する辺の長さの比はＡＢ：ＤＥ＝２㎝：４㎝＝１：２です。
つまり、辺ＰＡとＰＤの長さの比も１：２であり、辺ＡＤの長さは比の２－１＝１にあたるので、辺ＰＡの長さはＡＤと同じく４㎝になります。
つまり次の図のように、三角すいＰＤＥＦの高さにあたるＰＤは４＋４＝８㎝となることが分かったので、三角すいＰＤＥＦの体積は４×４÷２×８÷３＝３分の６４㎤です。
また、黄色い三角すいＰＡＢＣの体積は、２×２÷２×４÷３＝３分の８㎤です。
上の図の立体ＡＢＣＤＥＦの体積は、三角すいＰＤＥＦの体積から三角すいＰＡＢＣの体積を引けば求められるので、答えは３分の６４－３分の８＝３分の５６㎤になります。
【補足】
三角すいＰＤＥＦと三角すいＰＡＢＣを比べてみると、対応する辺の長さの比がすべて２：１になっているので、体積比は２×２×２：１×１×１＝８：１になります。
つまり、立体ＡＢＣＤＥＦの体積は比の８－１＝７にあたるので、三角すいＰＡＢＣの体積を７倍して３分の８×７＝３分の５６㎤と求めてもＯＫです。
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