気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図１のようなＡＢ＝８㎝、ＢＣ＝１０㎝、ＡＥ＝２０㎝の直方体の容器が机の上に置かれていて、中には高さ６㎝まで水が入っています。
 
(１)
図２のように面ＢＣＧＦが机に接するように置いたとき、水の高さは何㎝ですか。
 
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次に、図３のように辺ＥＨだけが机に接するように、容器を４５度傾けます。
 
(２)
このとき、面ＡＥＨＤが水に触れている部分の面積は何㎠ですか。












次に、容器の中から水を１６㎤だけ取り除き、点Ｈだけが机に接するように容器を傾けたところ、図４のように水面は辺ＤＨ上の点Ｐと頂点Ｆを通る状態になりました。
 
(３)
このとき、ＰＨの長さは何㎝ですか。












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(１)
次の図のように、容器の面ＥＦＧＨが底面になっているときは水の深さが６㎝なので、容器に入っている水の量は１０×８×６＝４８０㎤です。
 
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容器を倒して、次の図のように面ＢＣＧＦが底面となったときも、水の量は４８０㎤のままです。
 
また、そのときの底面積は１０×２０＝２００㎠なので、水の深さは４８０÷２００＝２.４㎝になります。








(２)
水の入った直方体の容器を、「傾ける前」と「４５度傾けた後」で比べてみると次のような図になります。
 
傾ける前は水の高さが６㎝なので、ＰＥとＱＦの長さは合わせて６×２＝１２㎝です。
 
また、４５度傾けたときも水の量は変わらないので、ＰＥとＱＦの長さは合わせて１２㎝になっています。








次の図のように、４５度傾けた容器の点Ｆから左へ、机と平行になるように赤い直線を引き、辺ＰＥとの交点をＲとします。
 
この図の三角形ＥＦＲは、角ＲＥＦが９０度、角ＲＦＥはＦＥＳと錯角の関係で等しいので４５度、そして角ＦＲＥは１８０－(９０＋４５)＝４５度なので、内角の関係から直角二等辺三角形であることが分かります。












上の図の直角二等辺三角形ＥＦＲは辺ＲＥとＦＥの長さが等しいので、辺ＲＥはＦＥと同じく８㎝です。
 
また、四角形ＰＲＦＱは平行四辺形なので、辺ＰＲとＱＦの長さはどちらも□㎝と表せます。
 
上の図の辺ＰＥとＱＦの長さの合計は１２㎝、そして辺ＲＥは８㎝なので、辺ＰＲとＱＦの長さはどちらも(１２－８)÷２＝２㎝になります。
 
つまり、辺ＰＥの長さは８＋２＝１０㎝なので、４５度傾けたときの様子を次のような展開図に表してみると、面ＡＥＨＤが水に触れている部分の面積は１０×１０＝１００㎠になります。














(３)
容器の中から１６㎤の水を取り除くと、残りの水の量は４８０－１６＝４６４㎤になるので、面ＥＦＧＨを底面としたときの水の深さは４６４÷(８×１０)＝５.８㎝になります。
 
次の図のように、容器を傾ける前の水の深さは５.８㎝なので、オレンジ色の辺ＰＨとＲＦ、緑色の辺ＱＥとＳＧの合計はどちらも５.８×２＝１１.６㎝です。
 
容器を傾けた後も、辺ＰＨとＲＦ、辺ＱＥとＳＧの合計はどちらも１１.６㎝のままなのですが、傾けた後は点ＦとＲがくっついてＲＦの長さはゼロになってしまったので、辺ＰＨの長さが１１.６㎝になります。









【補足】
 
容器を傾けた後も辺ＰＨとＲＦ、辺ＱＥとＳＧの合計がどちらも１１.６㎝のままになるのは、底面ＥＦＧＨがすべて水にぬれている間だけです。
 
上の図で容器をさらに左へ傾けると水面が点Ｆよりも下になり、ＥＦＧＨの中で水にぬれない部分が出てくるので、この求め方が使えなくなります。