５円、１０円、５０円、１００円の硬貨がたくさんあります。１５０円を支払うときに、使わない硬貨があってもよいとすると支払いかたは何通りありますか。
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「なるべく金額の大きな硬貨を優先して使う」というルールで１５０円になる組み合わせを作っていくと、最初は「１００円玉１枚＋５０円玉１枚」の組み合わせになります。
また、１００円玉１枚はそのまま使うことにして、５０円玉１枚を１０円玉や５円玉に両替する方法は、次の図のように
・１０円玉を５枚使う
・１０円玉を４枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を３枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を２枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を１枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を０枚使い、残りは(というか全部)５円玉で払う
の６通りが考えられます。
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つまり上の図のように、１００円玉を１枚使った場合、残りの５０円の作り方は１＋６＝７通りあることが分かります。
１００円玉以外の３種類の硬貨で１５０円を作る方法は、大きく分けて「５０円玉を３枚使う」、「５０円玉を２枚使う」、「５０円玉を１枚使う」、「５０円玉を１枚も使わない」の４パターンがあります。
その中で５０円玉を３枚使う場合の作り方はどう考えても１通りしかありません。
また、３枚ある５０円玉のうちの１枚を１０円玉や５円玉に両替する方法は、次の図のように
・１０円玉を５枚使う
・１０円玉を４枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を３枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を２枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を１枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を０枚使い、残りは(というか全部)５円玉で払う
の６通りが考えられます。
※ 「１００円玉１枚＋５０円玉１枚」の５０円玉を両替するときと条件が同じなので、さっきの図とほとんど一緒ですね。
５０円玉を１枚使う場合、残りの１００円を１０円玉と５円玉の組み合わせで作る方法は、次の図のように
・１０円玉を１０枚使う
・１０円玉を９枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を８枚使い、残りは５円玉で払う
(めんどくさいので中略)
・１０円玉を２枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を１枚使い、残りは５円玉で払う
・１０円玉を０枚使い、残りは(というか全部)５円玉で払う
の１１通りが考えられます。
また、５０円玉を１枚も使わない場合、残りの１５０円を１０円玉と５円玉の組み合わせで作る方法は「１０円玉を１５枚使う」から「１０円玉を０枚使う」までの１６通りあります。
以上から、答えは７＋１＋６＋１１＋１６＝４１通りになります。
【補足】
最後の足し算「７＋１＋６＋１１＋１６」の意味を確認しておくと、
・７→１００玉を１枚使う場合が１＋６＝７通り
・１→５０円玉を３枚使う場合が１通り
・６→５０円玉を２枚使う場合が６通り
・１１→５０円玉を１枚使う場合が１１通り
・１６→１０円玉と５円玉だけ使う場合が１６通り
となります。
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