下の図のような正三角形の形をした花だんがあり、正三角形の３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃにはそれぞれ１つずつ石がおいてあります。まこと君は、はじめ頂点Ａにいます。まこと君は、さいころを１回ふると、自分がいる頂点から花だんのまわりを反時計回り(Ａ→Ｂ→Ｃ→Ａ→・・・)に歩き、出た目の数だけ先にある頂点に移動します。
※ 例えば、Ａにいるまこと君がさいころをふって２の目が出たら、まこと君は２つ先のＣへ移動します)。
そして、移動した頂点に石があれば取り除き、石がなければその頂点に石をおきます。
このとき、次の各問いに答えなさい。
(１)
さいころを２回ふってまこと君が移動したあと、３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃにすべて石があるようなさいころの出方は何通りありますか。
(２)
さいころを３回ふってまこと君が移動したあと、３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃにすべて石がないようなさいころの出方は何通りありますか。
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(１)
１回目のさいころの目は１から６までの６通りあるのですが、とりあえず１が出たことにして話を進めていきましょう。
１回目に１が出たとき、まこと君は次の図のようにＡからＢへ進み、そこで石を取り除きます。
したがって、２回目は次の図の赤い矢印のように３マス進むか、緑色の矢印のようにさらに３マス進んで同じ場所に戻って石を置けば、３つの頂点すべてに石がある状態に戻ります。
つまり、２回目のさいころの目は３または６の２通りあります。
１回目のさいころの目は１から６の６通り、２回目のさいころの目は３または６の２通りなので、求める組み合わせは全部で６×２＝１２通りになります。
(２)
さっきと同じように、１回目はとりあえず１が出たことにして話を進めると、次の図のようにまずはＢの石が取り除かれます。
そしてここから先は「Ｂ→Ｃ→Ａの順に取り除くコース」と「Ｂ→Ａ→Ｃの順に取り除くコース」のどちらかに進むことになります。
【Ｂ→Ｃ→Ａの順に取り除くコース】
２回目のさいころでＣの石を取り除くためには、次の図のようにＢから１マスまたは４マス進む場合の２通りが考えられます。これで残りの石はＡだけですね。
そして３回目でＡの石を取り除くためには、やはり次の図のようにＣから１マスまたは４マス進む場合の２通りが考えられます。
つまりＢ→Ｃ→Ａのように取り除くコース(１か所目→となり→となり)は、
・１回目のさいころの目→１から６の６通り
・２回目のさいころの目→１または４の２通り
・３回目のさいころの目→１または４の２通り
になるので、全部で６×２×２＝２４通りあります。
【Ｂ→Ａ→Ｃの順に取り除くコース】
２回目のさいころでＡの石を取り除くためには、次の図のようにＢから２マスまたは５マス進む場合の２通りが考えられます。これで残りの石はＣだけになりました。
そして３回目でＣの石を取り除くためには、次の図のようにＡから２マスまたは５マス進む場合の２通りが考えられます。
つまりＢ→Ａ→Ｃの順に取り除くコース(１か所目→１個とばし→１個とばし)は、
・１回目のさいころの目→１から６の６通り
・２回目のさいころの目→２または５の２通り
・３回目のさいころの目→２または５の２通り
になるので、全部で６×２×２＝２４通りあります。
以上から、求める組み合わせは全部で２４×２＝４８通りになります。
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