下の図のように、直線上にＰ地点とＱ地点があり、２地点の間の距離は２０４０㎝あります。
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３つの点Ａ、Ｂ、Ｃは次の(ア)、(イ)、(ウ)のようなルールで直線の上を動きます。
(ア)
点は動き始めると一定の速さで直線上を移動する。
(イ)
下の図のように、向かい合って進む２つの点が出会うと、２つの点はお互いに進む方向を反対方向に変えて、２つの点の平均の速さで進む。
(ウ)
下の図のように、止まっている点に動いている点が出会うと、止まっている点は動いている点の半分の速さで押し出され、動いてきた点は進む方向を反対方向に変えて、元の速さの半分の速さで進む。
このとき、次の各問いに答えなさい。
(１)
はじめに、点ＡはＰ地点にあり、点ＢはＱ地点にあります。点Ａは毎秒３０㎝の速さでＱ地点へ向かって、点Ｂは毎秒１０㎝の速さでＰ地点へ向かって同時に動き始めます。このとき、点ＡがＰ地点に戻るのは、点ＢがＱ地点に戻ってから何秒後ですか。
(２)
はじめに、点ＡはＰ地点にあり、点ＢはＱ地点にあり、点ＣはＰ地点とＱ地点の間にあります。点Ａは毎秒３０㎝の速さでＱ地点へ向かって、点Ｂは毎秒１０㎝の速さでＰ地点へ向かって同時に動き始め、まず点Ａが点Ｃと出会い、続いて点Ｂが点Ｃと出会い、そのあと、点Ａと点Ｂは同時にＰ地点、Ｑ地点に戻ってきました。はじめに、点Ｃは、Ｐ地点から何㎝離れたところにありましたか。
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(１)
２つの点が進む速さの比はＡ：Ｂ＝秒速３０㎝：秒速１０㎝＝３：１なので、２つの点が出会うまでに進む距離も、次の図のようにＡ：Ｂ＝３：１になっています。
このとき、比の③＋①＝④がＰからＱまでの距離である２０４０㎝にあたるので、比の①は２０４０÷④＝５１０㎝、そして比の③は５１０×３＝１５３０㎝になります(比例配分)。
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このあと、２つの点はそれぞれ反対方向へ(３０＋１０)÷２＝秒速２０㎝の速さで進むのですが、２つとも進む速さが同じなので、点ＢがＱ地点までの５１０㎝を進む間に点ＡもＰ地点へ５１０㎝近づいているはずです。
つまり点ＢがＱ地点に着いたとき、点Ａは次の図のように、Ｐ地点まであと１５３０－５１０＝１０２０㎝の地点にいることが分かります。
点Ａはその距離を秒速２０㎝で進み続けるので、点ＢがＱ地点に戻ってから１０２０÷２０＝５１秒後にＰ地点へ戻ります。
(２)
点Ａと点Ｂは同時にＰ地点とＱ地点をそれぞれ出発し、途中で止まることなく同時にそれぞれの出発地点に戻りました。
つまり点Ａと点Ｂが動いていた時間は等しいのですが、それがこの問題を解く上で重要なカギになります。
【点Ａの往復について】
点Ａは次の図のように、点ＣがいるＲ地点まで秒速３０㎝で進み、そこではね返された後はＰ地点へ向かって３０÷２＝秒速１５㎝で戻ります。
このとき、Ａの行きと帰りの速さの比は、行き：帰り＝秒速３０㎝：秒速１５㎝＝２：１なので、行きと帰りにかかった時間の比は、行き：帰り＝１：２になります。
【点Ｂの往復について】
点Ｂは次の図のように、秒速１５㎝で進んできた点ＣとＳ地点でぶつかるまで秒速１０㎝で進み、そこではね返された後はＱ地点へ向かって(１５＋１０)÷２＝秒速１２.５㎝で戻ります。
このとき、Ｂの行きと帰りの速さの比は、行き：帰り＝秒速１０㎝：秒速１２.５㎝＝４：５なので、行きと帰りにかかった時間の比は、行き：帰り＝５：４になります。
ここで点Ａと点Ｂがそれぞれ行きと帰りにかかった時間の比の合計を求めてみると・・・
・点Ａ→行き＋帰り＝１＋２＝３
・点Ｂ→行き＋帰り＝５＋４＝９
実際はこの２つの点がそれぞれ行きと帰りにかかった時間の合計は同じはずなのに、比の合計は「３」と「９」になっています。
そこで、次のように点Ａが行きと帰りにかかった時間の比を３倍して、比の合計をそろえることにします。
このとき、点Ａと点Ｂが行きと帰りにかかった時間の比を線分図に表してみると次のようになります。
上の線分図の⑤－③＝②は、Ｒ地点でＡに押し出されたＣが秒速１５㎝で進み、Ｓ地点でＢにぶつかるまでにかかった時間を表しています。
ここでＰ地点からＱ地点までの距離を次のように３区間に分けてみると・・・
・Ｐ地点からＲ地点までの距離→点Ａが秒速３０㎝で③かかったので、３０×③＝９０
・Ｒ地点からＳ地点までの距離→点Ｃが秒速１５㎝で②かかったので、１５×②＝３０
・Ｓ地点からＱ地点までの距離→点Ｂが秒速１２.５㎝で④かかったので、１２.５×④＝５０
したがって、Ｐ地点からＱ地点までの距離は比の９０＋３０＋５０＝１７０と表せます。
このとき、比の１７０が２０４０㎝にあたるので、比の１は１２㎝になります。
求める距離はＰ地点からＲ地点までの距離なので、１２×９０＝１０８０㎝になります。
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