ある中学校の１年生が、国語、数学、英語のテストを受けました。国語で５０点以下だった生徒の人数は全体の４分の１、数学で５０点以下だった生徒の人数は全体の３分の１、英語で５０点以下だった生徒の人数は全体の６分の１です。また、国語と数学がともに５０点以下だった生徒は９人、数学と英語がともに５０点以下だった生徒は５人です。国語と英語がともに５０点以下だった生徒はいませんでした。３教科とも５１点以上の生徒は６８人です。中学１年生は全部で何人いますか。
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まずは問題文に出てくる数字が、次のベン図のどの部分を表しているのかを確認しておきます。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
① 国語が５０点以下→全体の４分の１・・・図のアエキカ
② 数学が５０点以下→全体の３分の１・・・図のイエキオ
③ 英語が５０点以下→全体の６分の１・・・図のウカキオ
④ 国語と数学がともに５０点以下→９人・・・図のエキ
⑤ 数学と英語がともに５０点以下→５人・・・図のオキ
⑥ 国語と英語がともに５０点以下→０人・・・図のカキ
⑦ ３教科とも５１点以上→６８人・・・図のク
⑧ １年生全体・・・図のアイウエオカキク
このとき、⑥の「国語と英語がともに５０点以下」の人数は０人なので、上の図のカとキにあてはまる人は誰もいません。
そこで、さっきの①～⑧からカとキを取り除いて書き直してみると次のようになります。
① 国語が５０点以下→全体の４分の１・・・図のアエ
② 数学が５０点以下→全体の３分の１・・・図のイエオ
③ 英語が５０点以下→全体の６分の１・・・図のウオ
④ 国語と数学がともに５０点以下→９人・・・図のエ
⑤ 数学と英語がともに５０点以下→５人・・・図のオ
⑥ 国語と英語がともに５０点以下→０人・・・削除
⑦ ３教科とも５１点以上→６８人・・・図のク
⑧ １年生全体・・・図のアイウエオク
次に①と②と③の割合の合計を求めてみると、４分の１＋３分の１＋６分の１＝４分の３になります。
つまり、１年生全体の４分の３が図のアエ＋イエオ＋ウオ＝アイウエオエオにあたります。
このとき、上の④と⑤からエとオの和は９＋５＝１４人と分かるので、アイウエオエオ＝アイウエオ＋１４人とも表せます。
※ １年生全体の４分の３＝アイウエオ＋１４人
また、クは６８人なので、１年生全体であるアイウエオクは、アイウエオ＋６８人とも表せます。
※ １年生全体＝アイウエオ＋６８人
この２つの式で次の図のように消去算を行うと、６８－１４＝５４人が、１年生全体の４分の１にあたることが分かります。
以上から、１年生は全部で５４×４＝２１６人います。
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