10/15
Sat
2011
(１)
四角形ＡＢＱＰが初めて長方形になるのは、次の図のように点ＰとＱの進んだ距離が合わせて３０㎝になったときです。
また、点ＰとＱの速さの比はＰ：Ｑ＝秒速５㎝：３㎝＝５：３なので、下の図でＰとＱが進んだ距離の比も５：３になっています。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
また、四角形ＡＢＱＰが２回目に長方形となるのは、次の図のように
・点Ｐ→ＡからＤへ進み、ＤからＡへ戻ってくる途中
・点Ｑ→ＣからＢへ進み、ＢからＣへ戻ってくる途中
に、２つの点の進んだ距離が合わせて３０×３＝９０㎝になったときです。
上の図で点ＰとＱが進んだ距離の比は５：３なので、２つの点が進んだ距離の合計である９０㎝を５：３に比例配分して、それぞれの点が進んだ距離を求めてみると、
・点Ｐが進んだ距離→９０×８分の５＝５６.２５㎝
・点Ｑが進んだ距離→９０×８分の３＝３３.７５㎝
になります。
つまり、四角形ＡＢＱＰが２回目に長方形になるのは、秒速５㎝で進む点Ｐが５６.２５㎝進んだときなので、答えは５６.２５÷５＝１１.２５秒後になります。
※ 点Ｑを利用して「３３.７５÷３＝１１.２５秒後」と求めてももちろんＯＫです。
(２)
四角形ＡＢＱＰが正方形になるのは、次の図のようにＡＰ間とＢＱ間の距離がどちらも１５㎝になったときです。
頂点Ａを出発した点Ｐが初めてＡから１５㎝の地点に来るのは、１５÷５＝３秒後です。
また、その後は点Ｐが１５×２＝３０㎝進むごとにその場所へ戻るのですが、点Ｐが３０㎝進むのにかかる時間は３０÷５＝６秒なので、ＡＰ間が１５㎝になるのは、スタートから３秒後、３＋６＝９秒後、９＋６＝１５秒後、１５＋６＝２１秒後、・・・のようになります。
頂点Ｃを出発した点Ｑが初めてＢから１５㎝の地点に来るのは、１５÷３＝５秒後です。
また、その後は点Ｑが３０㎝進むごとにその場所へ戻るのですが、点Ｑが３０㎝進むのにかかる時間は３０÷３＝１０秒なので、ＢＱ間が１５㎝になるのは、スタートから５秒後、５＋１０＝１５秒後、１５＋１０＝２５秒後、２５＋１０＝３５秒後、・・・のようになります。
ＡＰ間とＢＱ間が１５㎝になる時間を次の図のように書き出してみると、初めてどちらも１５㎝になるのはスタートから１５秒後であることが分かります。
上の図を書き続ければそのうち２回目のときも見つかるのですが、せっかくなので計算で求めてみます。
ＡＰ間の距離が１５㎝になる時間は６秒おき、そしてＢＱ間の距離が１５㎝になる時間は１０秒おきなので、１回目の時間である１５秒後に６と１０の最小公倍数である３０秒を足すと、２回目の時間が求められます。
したがって、ＡＰ間とＢＱ間がどちらも１５㎝となり、四角形ＡＢＱＰが２回目に正方形になるのは、スタートしてから１５＋３０＝４５秒後です。
【補足】
１回目の時間は自力で見つけて、２回目以降の時間は「１回目の時間＋最小公倍数」を計算して求めるパターンはときどき出題されます。
ただ、２回目とか３回目ぐらいなら、何も考えずに表を書いて見つけてもそれほど時間はかかりません。
「フェリス」、「麻布」などの学校名を入力して検索すると該当記事の一覧が表示されます。 「該当なし」だったらごめんなさいm(_ _)m