09/12
Mon
2011
(１)
三角形ＡＤＰの面積が最大となるのは点Ｐが辺ＢＣ上を進んでいるときなので、たとえば次の図のように、点ＰがＢに着いたときの三角形ＡＤＰの面積は、グラフから２０㎠となることが分かります。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
上の図のように、三角形ＡＤＰの高さを□㎝とおくと、三角形ＡＤＰの面積を求める式は「１０×□÷２＝２０㎠」と表せるので、□には２０×２÷１０＝４㎝があてはまります。
つまり、台形ＡＢＣＤの高さも４㎝なので、台形ＡＢＣＤの面積は(４＋１０)×４÷２＝２８㎠になります。
(２)
グラフを見ると、点Ｐは頂点ＡからＤまで進むのに８秒かかることが分かります。
また、次の図のＢＣ間は秒速２㎝で進むので、点ＰがＢからＣまで進むのに４÷２＝２秒かかります。
したがって、点ＰがＡＢ間とＣＤ間を進むのにかかる時間の合計は、８－２＝６秒です。
点Ｐは上の図のＡＢ間を秒速１㎝で、ＣＤ間を秒速５㎝で進むので、ＡＢ間とＣＤ間を進むときの速さの比はＡＢ間：ＣＤ間＝１：５と表せます。
また、速さの逆比は同じ距離(この問題だとＡＢとＣＤ)を進むのにかかる時間の比と等しいので、点ＰがＡＢ間とＣＤ間を進むのにかかる時間の比は、ＡＢ間：ＣＤ間＝５：１になります。
つまり、時間の比の合計である５＋１＝６が、ＡＢ間とＣＤ間を進むのにかかる時間の合計である６秒にあたるので、比の１は６÷６＝１秒、そしてＡＢ間を進むのにかかる時間(比の５)は１×５＝５秒であることが分かります。
グラフのアには点ＰがＡＢ間を進むのにかかる時間があてはまるので、答えは５秒となります。
また、イには点ＰがＡＢ間とＢＣ間を進むのにかかる時間の合計があてはまるので、答えは５＋２＝７秒になります。
【補足】
点Ｐは辺ＡＢを秒速１㎝で５秒かけて進むので、辺ＡＢの長さは１×５＝５㎝です。また、ＡＢＣＤは等脚台形なので、辺ＣＤの長さも５㎝です。
それと、直角三角形において、直角をはさむ２辺の長さの比が３：４であれば、いちばん長い辺の比は５と表せることを知っていれば、次の図のように赤い補助線を引くことで辺ＡＢとＣＤの長さが５㎝となることがすぐ分かるので、点ＰがＡＢ間を進むのに５÷１＝５秒かかることもすぐ求められます。
上の図のような「３辺の比が３：４：５となる直角三角形」のことを知っていれば、辺ＡＢとＣＤの長さが５㎝となることにすぐ気がつくのですが、知らなくてもちゃんと解けるので、まぁ好きにしてください。
というか、この「３：４：５となる直角三角形」関連の問題は昔からよく出題されるんだけど、なぜか「直角三角形の３辺の比はいつでも３：４：５となる」というとんでもない勘違いをする子がでてきて、「いや、そうじゃなくってさ・・・」と知識を修正する手間がけっこう面倒なので、個人的には「使いこなせそうな子にあっさり教える」程度に留めてます。
(３)
台形ＡＢＣＤの面積は２８㎠なので、三角形ＡＤＰの面積がその半分にあたる２８÷２＝１４㎠となるときがいつなのかを求めればＯＫです。
次の図のように、三角形ＡＤＰの面積が１４㎠となるときの高さである辺ＰＧの長さを□㎝とおくと、面積を求める式は「１０×□÷２＝１４㎠」と表せるので、□には１４×２÷１０＝２.８㎝があてはまります。
また、さっきの問題で次の図の三角形ＡＢＥは辺ＢＥとＡＢの長さの比が４㎝：５㎝＝４：５となることが分かったので、ＡＢＥと相似の関係であるＡＰＧの辺ＰＧとＡＰの長さの比も４：５となります。
つまり、辺ＰＧの長さである２.８㎝が比の４にあたるので、比の１は２.８÷４＝０.７㎝、そして辺ＡＰの長さにあたる比の５は０.７×５＝３.５㎝になります。
三角形ＡＤＰの面積が２回目に１４㎠となるのは、次の図のように点Ｐが辺ＣＤ上へと進み、ＡＤＰの高さにあたる辺ＰＨが２.８㎝となったときです。
そのとき、三角形ＤＨＰの辺ＰＤはさっきのＡＰと同じく３.５㎝となるので、ＣＰの長さは５－３.５＝１.５㎝になります。
三角形ＡＤＰの面積が１回目に１４㎠となるのは、次の図のように点Ｐが辺ＡＢ上を頂点Ａから３.５㎝進んだときです。
また、点Ｐは辺ＡＢ上を秒速１㎝で進むので、３.５㎝進むのにかかる時間は３.５÷１＝３.５秒です。
三角形ＡＤＰの面積が２回目に１４㎠となるのは、上の図のように点Ｐが辺ＣＤ上をＣから１.５㎝進んだときです。
点Ｐは辺ＡＢ上を秒速１㎝、辺ＢＣ上を秒速２㎝、そして辺ＣＤ上を秒速５㎝で進むので、頂点Ａを出発した点ＰがＣから１.５㎝先まで進むのにかかる時間は、５÷１＋４÷２＋１.５÷５＝７.３秒です。
以上から、ウには３.５が、エには７.３があてはまります。
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