09/11
Sun
2011
(１)
次の図のように、平行四辺形の右端にある三角形ＣＥＤを切り取って左端にくっつけると、縦１６㎝、横３１.４㎝の長方形ＦＢＣＥができます。
また、長方形ＦＢＣＥはすでに点ＡとＤが接しているので、後は点ＢとＣ、点ＦとＥがそれぞれくっつくように紙を丸めて円柱にすれば作業完了です。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
次の図のように、縦１６㎝、横３１.４㎝の長方形ＦＢＣＥを丸めて円柱を作ると、円柱の高さは１６㎝、そして底面の円の円周は３１.４㎝になります。
このとき、底面の円の半径を□㎝とおくと、円周の長さを求める式は「□×２×３.１４＝３１.４㎝」と表せるので、底面の円の半径は３１.４÷３.１４÷２＝５㎝だと分かります。
つまり、上の図の円柱は底面の円の半径が５㎝、高さが１６㎝なので、体積は５×５×３.１４×１６＝１２５６㎤になります。
(２)
次の図のように、平行四辺形ＡＢＣＤを辺ＡＢが底辺となるように向きを変えてから、左横にある三角形ＤＡＧを切り取って右横にくっつけると、横の長さが２０㎝の長方形ＧＡＢＨができます。
また、長方形ＧＡＢＨの面積はもとの平行四辺形ＡＢＣＤの面積(底辺３１.４㎝、高さ１６㎝)と等しいので、長方形ＧＡＢＨの高さを□㎝とおくと、「３１.４×１６＝２０×□」という式ができます。
したがって、長方形ＧＡＢＨの高さは１６÷２０×３１.４＝２５.１２㎝になります。
次の図のように、円柱①と円柱②を並べて比べてみると、この２つの円柱は底面の円周の長さの比が円柱①：円柱②＝３１.４㎝：２０㎝＝１５７：１００なので、底面の円の半径の長さの比も円柱①：円柱②＝１５７：１００になります。
※ 半径の比と円周の比は、どちらも長さの比なので等しい。
したがって、底面の円の面積比は、円柱①：円柱②＝１５７×１５７：１００×１００と表せます。
※ 相似図形の長さの比が□：△なら、面積比は□×□：△×△だから。
また、上の図の２つの円柱の高さの比は、円柱①：円柱②＝１６㎝：２５.１２㎝＝１００：１５７なので、２つの円柱の底面積と高さの比は、
・円柱①→底面積は「１５７×１５７」、高さは１００
・円柱②→底面積は「１００×１００」、高さは１５７
と表せます。
したがって、「底面積×高さ」を計算してそれぞれの円柱の体積を求める式を表してみると、円柱①は「１５７×１５７×１００」、そして円柱②は「１００×１００×１５７」となります。
その２つの式を次の図のように比の形に表して、約分のように左右の同じ数を消すと、円柱①には「１５７」が１個、そして円柱②には「１００」が１個残るので、２つの円柱の体積比は円柱①：円柱②＝１５７：１００になります。
【補足】
円柱②の底面の円の円周は２０㎝なので、どう考えても３.１４では割り切れません。
つまり、底面の円の半径の長さを求める逆算がややこしそうなので、「円周の長さの比と半径の長さの比は等しい」ことを利用して解いたのですが、パワープレイの好きな人なら、普通に「半径の長さを求める→高さをかけて体積を求める」という解き方でもＯＫだと思います。
円柱②の底面の円の半径の長さを□㎝とおくと、円周の長さを求める式は「□×２×３.１４＝２０㎝」と表せるので、半径の長さは２０÷２÷３.１４＝３.１４分の１０㎝と表せます。
また、円柱②の高さは２５.１２㎝＝８×３.１４㎝なので、円柱②の体積を求める式は、次の図のように「３.１４分の１０×３.１４分の１０×３.１４×８×３.１４」と表せます。
※ 一見ややこしそうだけど、普通に「底面の半径×底面の半径×３.１４×高さ」を計算してるだけ。
上の式の分母にある２個の「３.１４」はどちらも約分して消えるので、円柱②の体積は１０×１０×８＝８００㎤です。
円柱①の体積は１２５６㎤なので、２つの円柱の体積比は、円柱①：円柱②＝１２５６㎤：８００㎤＝１５７：１００となります。
分数の分母や分子に小数が出てきても約分しちゃえばスッキリとした整数になるので、この程度のパワープレイなら十分アリだよなー、と思う今日この頃です。
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