気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図は、長方形から正方形を取り除いたものです。半径３㎝の円が、この図形の内側にそって、転がりながら１周して元の位置に戻ります。円周率は３.１４として、次の各問いに答えなさい。
 
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(１)
円の中心が動いてできた線の長さを求めなさい。
 
(２)
この図形内で円が通らなかった部分の面積を求めなさい。
 
 
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(１)
次の図のように、半径３㎝の円が多角形の内部をＡの位置から時計回りに１周するとき、円の中心が通った線は「青色の直線が６本」と「オレンジ色の曲線が１本」に分けられます。
 
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上の図の青い直線６本の長さをそれぞれ求めてみると、
 
・直線ＡＢ→２２－３×２＝１６㎝
・直線ＢＣ→１２－３×２＝６㎝
・直線ＣＤ→円の半径と等しいので３㎝
・直線ＥＦ→円の半径と等しいので３㎝
・直線ＦＧ→１６－３×２＝１０㎝
・直線ＧＡ→１８－３×２＝１２㎝
 
となるので、青い直線６本の長さの合計は１６＋６＋３＋３＋１０＋１２＝５０㎝になります。
 
また、オレンジ色の曲線ＤＥは半径３㎝で中心角９０度のおうぎ形の弧なので、その長さは３×２×３.１４÷４＝４.７１㎝です。
 
したがって、円の中心が動いてできた線の長さは５０＋４.７１＝５４.７１㎝になります。


(２)
次の図のように、直径６㎝の円が多角形の内部を左上から時計回りに１周するとき、円が通らなかった場所は「青色の部分が１か所」と「緑色の部分が５か所」に分けられます。
 
※　円が通過したのは黄色い部分。











上の図の青い部分の面積は、縦が１８－６×２＝６㎝、横が２２－６×２＝１０㎝の長方形の面積から、半径６㎝で中心角９０度のおうぎ形の面積を引けば求められます。
 
縦６㎝、横１０㎝の長方形の面積は６×１０＝６０㎠、半径６㎝で中心角９０度のおうぎ形の面積は６×６×３.１４÷４＝２８.２６㎠なので、青い部分の面積は６０－２８.２６＝３１.７４㎠になります。
 
また、上の図の緑色の部分４か所の面積は、次の図のように１辺６㎝の正方形の面積から半径３㎝の円の面積を引けば求められます。
 
つまり、緑色の部分４か所の面積は６×６－３×３×３.１４＝７.７４㎠なので、緑色の部分５か所の面積は７.７４×４分の５＝９.６７５㎠になります。














以上から、多角形の内部で円が通らなかった部分の面積は３１.７４＋９.６７５＝４１.４１５㎠になります。