気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図は、半径６㎝の２つの半円を、角ＢＡＣの大きさが３０度となるように重ね合わせたものです。この図の三角形ＡＢＣの面積は何㎠ですか。ただし、円周率は３.１４とします。
 
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【補足】
 
これは２０１１年度実施の入試問題ではなく、とある方からのリクエストを受けて気まぐれで作成した解説です。
 
 
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三角形ＡＢＣは底辺も高さも分からないので、まずは次の図のように点ＥとＤに補助線を引いて「二等辺三角形ＡＤＥ」と「台形ＤＢＣＥ」に分け、それぞれの面積を求めてから最後に足して答えを求めます。
 
また、辺ＤＥとかＢＣの長さは結局最後まで分からないのですが、「円の中心から円周上までの直線距離は常に６㎝」となることを最大限に利用しつつ、角度の関係にも注目しながら解けばなんとかなります。
 
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次の図のように、三角形ＡＥＤの頂点Ｅから辺ＡＤに向けて垂線を引き、交点をＦとすると、直角三角形ＡＥＦができます。
 
この三角形は、角ＥＡＦが３０度、角ＥＦＡが９０度、そして角ＡＥＦが１８０－(３０＋９０)＝６０度なので、３つの内角の組み合わせが「３０度・６０度・９０度」となります。
 
つまり、三角形ＡＥＦは「正三角形をスパッと２等分した形」になっているので、辺ＥＦの長さはＡＥの半分にあたる６÷２＝３㎝になります。
 
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つまり次の図のように、三角形ＡＥＤは底辺ＡＤが６㎝、高さＥＦが３㎝なので、その面積は６×３÷２＝９㎠になります。









次の図のように、半円の中心Ｄから円周上の点Ｃまで補助線を引くと、辺ＣＤは半円の半径になるので、その長さは辺ＡＤと同じく６㎝になります。
 
つまり、三角形ＡＤＣは辺ＡＤとＣＤの長さが等しい二等辺三角形なので、角ＤＣＡの大きさはＣＡＤと同じく３０度になります。
 
また、角ＣＤＢは三角形ＡＤＣの外角にあたるので、その大きさは３０＋３０＝６０度です。









次の図のように、半円の中心Ｅから円周上の点Ｂまで補助線を引くと、三角形ＥＡＢは辺ＥＡとＥＢの長さがどちらも６㎝で等しい二等辺三角形になります。
 
したがって、角ＥＢＡの大きさはＥＡＢと同じく３０度であり、角ＣＥＢは三角形ＥＡＢの外角にあたるので３０＋３０＝６０度になります。












さっきの２つの図を重ね合わせてみると、台形ＤＢＣＥの内部は次の図のように２本の対角線ＥＢとＣＤによって４つの三角形に分割されます。
 
また、三角形ＣＥＧとＢＤＧはどちらも３つの内角の組み合わせが「３０度・６０度・９０度」の直角三角形なので、青い２本の対角線は直角に交わっていることが分かります。
 
四角形の内部で２本の対角線が直角に交わっているときは、ひし形と同じように「対角線×対角線÷２」を計算すれば面積が求められ、しかも青い２本の対角線ＥＢとＣＤの長さはどちらも６㎝であることが分かっているので、台形ＤＢＣＥの面積は６×６÷２＝１８㎠になります。









これまでに分かったことをまとめると、次の図の三角形ＡＤＥの面積は９㎠、そして台形ＤＢＣＥの面積は１８㎠なので、三角形ＡＢＣの面積は９＋１８＝２７㎠になります。