気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図は正方形ＡＢＣＤをＣを中心として時計回りに１回転したときにＡとＢが動いてできた円です。図の黄色い部分の面積が５０.２４㎠のとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
 
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(１)
正方形ＡＢＣＤの１辺の長さは何㎝ですか。
 
(２)
Ａが動いてできた円の面積は何㎠ですか。
 
(３)
正方形ＡＢＣＤが９０度回転したとき、辺ＡＢが通過した部分の面積は何㎠ですか。
 
 
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(１)
次の図の黄色い部分の面積は、内側の円の面積の４分の１にあたるので、正方形の１辺の長さを□㎝とおくと、黄色い部分の面積を求める式は「□×□×３.１４×４分の１＝５０.２４㎠」と表せます。
 
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「□×□×３.１４×４分の１＝５０.２４㎠」を逆算すると、「□×□」の答えは５０.２４÷３.１４÷４分の１＝６４になります。
 
６４＝８×８なので、正方形ＡＢＣＤの１辺の長さは８㎝です。
 
 
(２)
正方形の面積は「対角線×対角線÷２」を計算しても求められるので、次の図の正方形ＡＢＣＤの面積を求める式は「ＡＣ×ＡＣ÷２＝６４㎠」と表せます。
 
したがって、「ＡＣ×ＡＣ」の答えは６４×２＝１２８になります。














次の図の赤い辺ＡＣは、正方形ＡＢＣＤの対角線であるとともに、大きい円の半径にもなっています。
 
つまり、大きい円の面積を求める式は「ＡＣ×ＡＣ×３.１４」と表せるのですが、さっき「ＡＣ×ＡＣ＝１２８」であることを確認済みなので、大きい円の面積は１２８×３.１４＝４０１.９２㎠になります。















(３)
次の図のように、正方形ＡＢＣＤを点Ｃを中心として時計回りに９０度回転させたとき、点Ａは大きな円の円周にそって、点Ｂは小さな円の円周にそってそれぞれ９０度回転するので、辺ＡＢは図のピンク色の部分を通過します。
 
※　辺ＡＢが赤い液体を付けたモップで、矢印の方向へモップを動かしたらピンク色の部分が液体でぬれたよ、という感じ。












次の図の緑色の三角形２個をくっつけると正方形ＡＢＣＤが１個できるので、図全体の面積は「青い大きなおうぎ形」と「正方形ＡＢＣＤ」に分けることができます。
 
※　この時点では、まだ実際に面積は求めません。











次の図全体の面積から、「黄色い小さなおうぎ形」と「正方形ＡＢＣＤ」の面積の合計を引けば、この問題で求めたいピンク色の部分の面積が分かります。
 
つまり、ピンク色の部分の面積を求める式を言葉で表すと、
 
(大きいおうぎ形＋正方形ＡＢＣＤ)－(小さいおうぎ形＋正方形ＡＢＣＤ)＝ピンク色の部分の面積
 
となるのですが、両方のカッコにある「正方形ＡＢＣＤ」は消すことができるので、ピンク色の部分の面積を求めるには、大きいおうぎ形と小さいおうぎ形の面積差を求めればＯＫです。











さっきの問題で、大きい円の面積は４０１.９２㎠であることが分かったので、大きいおうぎ形(中心角９０度)の面積は４０１.９２÷４＝１００.４８㎠です。
 
また、小さいおうぎ形の面積は問題文に５０.２４㎠と書いてあるので、辺ＡＢが通過した部分の面積は、１００.４８－５０.２４＝５０.２４㎠になります。