気まぐれ解説カフェ(仮)

(１)
まずは問題文の指示通り、正方形ＡＢＣＤの辺ＢＣ、ＣＤの真ん中の点をそれぞれＭ、Ｎとして、ＡとＭ、ＡとＮ、ＭとＮをそれぞれ直線で結んでみると次の図のようになります。
 
※　画像はすべて、クリックすると拡大します。















上の図の直角二等辺三角形ＣＮＭを立体の底面とすると、残り３つの三角形は立体の側面になります。
 
また、上の図を組み立てると点Ａが立体の頂点になり、点ＢとＤはどちらも点Ｃと重なって、次の図のような三角すいが完成します。















したがって、展開図を組み立てて三角すい(四面体)が完成したときに点Ｂと重なるのは、点ＣとＤの２つになります。
 
 
(２)
次の図のように、正方形ＡＢＣＤの１辺の半分にあたる長さを□㎝とおくと、辺ＡＢの長さ(三角すいの高さ)は「２×□㎝」と表せます。
 
また、三角すいの体積は「底面積×高さ÷３」を計算すれば求められるので、この展開図を組み立ててできる三角すいの体積を求める式は「□×□÷２×２×□÷３＝３０８７㎤」と表せます。
 
※　「□×□÷２」が三角すいの底面積、「２×□」が三角すいの高さにあたる。












「□×□÷２×２×□÷３＝３０８７㎤」の左辺は、次の図のように「□×□×□」と「÷２×２÷３」という２つのグループに分類できます。








上の図のうち、「÷２×２÷３」は「÷２」と「×２」が打ち消し合って「÷３」だけが残るので、結局は「□×□×□÷３＝３０８７㎤」と表せることが分かります。
 
つまり、「□×□×□」の答えは３０８７×３＝９２６１なので、あとは「３回かけ合わせたら９２６１になる数」を求めれば、正方形の長さの半分が分かります。
 
「えー、そんなの簡単に見つかるわけないじゃん！」とか思うかもしれませんが、適当な考え方でも意外とすぐに見つかります。
 
とりあえず、□にあてはまる数が何ケタなのかを調べてみると、１０×１０×１０＝１０００だと９２６１よりも小さい、そして１００×１００×１００＝１００００００だと９２６１よりも大きすぎなので、□には２ケタの数があてはまります。
 
また、同じ数を３回かけ合わせたときに、答えの一の位が「１」となるのは「１×１×１＝１」しかないので、□にあてはまる数の一の位は「１」であることも分かります。
 
あとは十の位にあてはまる数を見つければ作業完了なので適当に探してみると、
 
・１０×１０×１０＝１０００→９２６１よりも小さすぎ
・２０×２０×２０＝８０００→９２６１よりもちょっと小さい
・３０×３０×３０＝２７０００→９２６１を超えたのでアウト
 
となることから、「まぁたぶん２１でいけるんじゃない？」と思いつつ実際に確かめてみると、２１×２１×２１＝９２６１なのでバッチリです。
 
つまり、正方形の１辺の半分の長さは２１㎝であることが分かったので、正方形の１辺の長さは２１×２＝４２㎝になります。
 
 
(３)
さっきの問題で正方形の１辺と半分の長さが分かったので、まずは三角形ＡＭＮの面積を求めて・・・という流れでももちろんＯＫなのですが、それだと数が大きくてちょっと計算が大変なので、もう少しスムーズに解いてみます。
 
次の図のように、正方形ＡＢＣＤの１辺の長さの半分を比の１とおくと、１辺の長さは比の２と表せます。
 
それらの比を使って、正方形や内部にある三角形の面積をそれぞれ求めてみると、
 
・正方形ＡＢＣＤ→２×２＝４
・三角形ＡＢＭ→２×１÷２＝１
・三角形ＡＤＭ→２×１÷２＝１
・三角形ＣＮＭ→１×１÷２＝０.５
 
となるので、三角形ＡＭＭの面積は比の４－(１＋１＋０.５)＝１.５と表せます。














上の図の三角形ＣＮＭとＡＭＮの面積比は０.５：１.５＝１：３です。
 
また、三角形ＣＮＭとＡＭＮのどちらを底面にして組み立てようが、三角すいの体積が３０８７㎤であることに変わりはないので、「三角形ＣＮＭを底面としたときの三角すい」と「三角形ＡＭＮを底面としたときの三角すい」の高さの比は、底面積の比の逆比である３：１になっているはずです。
 
「三角形ＣＮＭを底面としたときの三角すい」の高さは４２㎝(正方形の辺ＡＢ)であることがすでに分かっているので、「三角形ＡＭＮを底面としたときの三角すい」を□㎝とおくと、３：１＝４２㎝：□㎝という比例式が作れます。
 
したがって、「三角形ＡＭＮを底面としたときの三角すい」の高さは、１×４２÷３＝１４㎝になります。
 
【補足】
 
この解き方がいまいちピンと来ない場合は、素直に三角形ＡＭＮの面積である６６１.５㎠を求めて、「６６１.５×□÷３＝３０８７㎤」を逆算すればちゃんと１４㎝になります。
 
ただ、「同じ形をした立体の底面積が１：３なら、高さは３：１だよね」という解き方はよく使われるし計算が楽で便利な場合が多いので、身につけても損はない技術だと思います。