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2011

サレジオ2011【7】 ☆数の性質・サイコロの出た目以外の数をかけ合わせる問題☆


机の上に、「1」、「2」、「3」、「4」、「5」、「6」の6枚のカードがあります。3つのサイコロを同時に投げ、出た目と同じ数字のカードを取り除きます。たとえば、「2・4・5」の目が出たら「2」、「4」、「5」のカードを取り除き、2の目が2つと5の目が出たら「2」、「5」のカードを取り除きます。残ったカードの数字をすべてかけた値をAとして、次の問いに答えなさい。
 
(1)
サイコロの目が「1・2・5」のとき、Aの値を求めなさい。
 
(2)
次の記述のうち、正しいものをすべて選び、記号で答えなさい。
 
ア Aが3の倍数となるのは、3または6の目が出た場合だけである。
イ Aが6の倍数となるのは、6の目が出なかった場合だけである。
ウ Aが7の倍数になることもある。
エ A=1になることはない。
オ Aの最大の値は720である。
カ ア~オの中に正しい記述は1つもない。
 
(3)
A=24となる目の出方をすべて答えなさい。ただし、3つの目の出方は【例】のように、(  )を用いて目の小さい順に書きなさい。
 
【例】 (3・4・5)、(3・4・4)
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!





(1)
3つのサイコロの目が「1・2・5」のとき、6枚のカードの中で残るのは「3」、「4」、「6」の3枚です。
 
Aの値は残ったカードの数字をかけ合わせれば分かるので、答えは3×4×6=72になります。
 
 
(2)
まずはすぐにおかしいと分かるア、イ、ウについて確認してみると、
 
・ア→内容が逆。3または6の目が出なかった場合にAは3の倍数となる。
・イ→6=2×3なので、2と3の目がどちらも出なかった場合でも、Aは6の倍数となる。
・ウ→素数である7がないのに、かけ算の答えが7の倍数になるわけない。
 
という感じなので、ア、イ、ウの3つはすべて間違いです。
 
エについては、A=1になるのは6枚のカードのうち「1」だけが残ったときですが、3つのサイコロを振って取り除けるカードは最大でも3枚までなので、実際にA=1となることはありません。
 
※ したがって、エの「A=1になることはない」はホント。
 
オについては、3つのサイコロの目がすべて「1」のとき、残った5枚のカードの数をすべてかけ合わせると2×3×4×5×6=720となるのでホントです。
 
また、エとオの内容が正しいのだから、カは間違いです。
 
以上から、内容が正しいものはエとオになります。
 
 
(3)
3つのサイコロを振った後に残るカードの枚数は、
 
・3つとも違う目が出た場合→6-3=3枚残る
・3つのうち2つが同じ目だった場合→6-2=4枚残る
・3つとも同じ目が出た場合→6-1=5枚残る
 
のですが、実際には5枚残った場合だと、最大の6を取り除いた場合でも1×2×3×4×5=120となり、24をはるかに超えるのでアウトです。
 
つまり、カードが3枚残った場合4枚残った場合に、カードの数字をかけ合わせて24になるのはどんなときなのかを考えてみればOKです。
 
【カードが3枚残った場合】
 
3つのサイコロの目がすべて異なり、6枚のカードから3枚取り除いたとき、残り3枚の数字をかけ合わせて24となるのは「1×4×6」と「2×3×4」の2通りです。
 
カードの残り3枚の数字が「1」、「4」、「6」のとき、3つのサイコロの目の組み合わせは(2・3・5)です。
 
また、カードの残り3枚の数字が「2」、「3」、「4」のとき、3つのサイコロの目の組み合わせは(1・5・6)です。
 
【カードが4枚残った場合】
 
3つのサイコロの目のうち2つが同じで、6枚のカードから2枚取り除いたとき、残り4枚の数字をかけ合わせて24となるのは「1×2×3×4」のときだけです。
 
そのときは6枚のカードから「5」と「6」を取り除いたはずなので、3つのサイコロの目の組み合わせは(5・5・6)(5・6・6)の2通りが考えられます。
 
以上から、A=24となるサイコロの目の出方の組み合わせは(1・5・6)(2・3・5)(5・5・6)(5・6・6)の4通りになります。
 
 
【どうでもいい感想】
 
画像を1枚も作成せずに解説が終わったのはものすごく久しぶりな気がする。
 
図形の移動・回転に関する問題で10枚以上作図するときは正直めんどくさくてうんざりだけど、1枚も作らないとなるとそれはそれで物足りないから困る(笑)




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