気まぐれ解説カフェ(仮)

次の各問いに答えなさい。
 
(１)
１から６のうち異なる２つの整数を、Ａ÷ＢのＡ、Ｂにあてはめて計算します。１より大きくなるＡ÷Ｂの値は(　　)個です。(　　)にあてはまる数を求めなさい。
 
 
(２)
１から６までの整数を１回ずつ使って、次の図の２つの式のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆにあてはめて計算します。
 
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アとイのどちらも整数となるアとイの値の組をすべて求めなさい。答えは(ア・イ)のように書きなさい。
 
 
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(１)
「Ａ÷Ｂ」の答えが１より大きくなるのは、たとえば「２÷１」や「５÷３」などのように、ＡがＢよりも大きいときです。
 
したがって、１～６の６個の数字から２個を選んで、ＡがＢよりも大きくなる組み合わせを調べてみると、
 
・Ｂ＝１のとき→Ａは２、３、４、５、６の５個のうちのどれか
・Ｂ＝２のとき→Ａは３、４、５、６の４個のうちのどれか
・Ｂ＝３のとき→Ａは４、５、６の３個のうちのどれか
・Ｂ＝４のとき→Ａは５、６の２個のうちのどちらか
・Ｂ＝５のとき→Ａにあてはまるのは６の１個だけ
 
となるので、ＡとＢの組み合わせは全部で５＋４＋３＋２＋１＝１５通り作れます。
 
ただし、それらの中で「Ａ÷Ｂ」の値が同じになってしまう場合があるかもしれないので念のため確認してみると、
 
・「Ａ÷Ｂ＝２÷１」のとき→「４÷２」、「６÷３」の２つは答えが同じなのでダメ
・「Ａ÷Ｂ＝３÷１」のとき→「６÷２」は答えが同じなのでダメ
・「Ａ÷Ｂ＝３÷２」のとき→「６÷４」は答えが同じなのでダメ
 
となるので、さっき見つけた１５通りの組み合わせのうち、２＋１＋１＝４通りは使えないことが分かります。
 
したがって、１より大きくなる「Ａ÷Ｂ」の値は全部で１５－４＝１１個になります。
 
 
(２)
分数のかけ算の答えが整数となるのは、かけ合わせる前に分母と分子を約分したら、分母がすべて１となったときです。
 
しかし、１～６の中で「５」は約数が１と５だけであり、分母に置くと約分できないまま残ってしまうので、「５」は必ず分子で使うことになります。
 
また、残り５個の数のうち、「２・３・４・６」については、
 
・「４」と「６」を分子に、「２」と「３」を分母に使う
・「３」と「４」を分子に、「２」と「６」を分母に使う
・「２」と「６」を分子に、「３」と「４」を分母に使う
 
という３通りの使い方をして、最後に残った「１」は分母として使えば、かけ算の答えを整数にすることができます。
 
※　つまり、アとイの組み合わせは最大でも３通りまで。
 
たとえば、「４」と「６」を分子に、「２」と「３」を分母に使う場合、次の図のように「２分の４」と「１分の５」と「３分の６」という３つの分数を作れば、足し算の答えが２分の４＋１分の５＋３分の６＝２＋５＋２＝９で整数になります。
 
また、その場合のかけ算の答えは２×５×２＝２０なので、アとイの組み合わせは(９・２０)となります。
 
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「３」と「４」を分子に、「２」と「６」を分母に使う場合、次の図のように「６分の３」と「２分の５」と「１分の４」という３つの分数を作れば、足し算の答えが６分の３＋２分の５＋１分の４＝０.５＋２.５＋４＝７で整数になります。
 
※　３つの数のうち、２つが「□.５」、残り１つは整数なら、足し算の答えは整数になる。
 
また、その場合のかけ算の答えは６分の３×２分の５×１分の４＝５なので、アとイの組み合わせは(７・５)となります。







「２」と「６」を分子に、「３」と「４」を分母に使う場合、３つの分数の足し算の答えが整数となる組み合わせがどうやっても作れないので、アとイの値の組は(９・２０)と(７・５)の２通りになります。
 
 
【補足】
 
「２」と「５」と「６」を分子に、「１」と「３」と「４」を分母に使う場合、足し算の答えがどうやっても整数にならないよ、という点についてもう少していねいに説明してみると・・・
 
・分母の「３」に分子の「２」を組み合わせた場合
 
「３分の２」は割り切れない分数、「１分の５」は整数、「４分の６」は割り切れるけど小数になる分数なので、その３つを足しても整数になるわけがない。
 
また、「３分の２」と「４分の５」と「１分の６」という使い方をしても、「割り切れない分数」と「割り切れるけど小数になる分数」と「整数」という組み合わせであることに変わりはないので、その３つを足しても整数にはならない。
 
 
・分母の「３」に分子の「５」を組み合わせた場合
 
「３分の５」は割り切れない分数、「１分の２」は整数、「４分の６」は割り切れるけど小数になる分数なので、その３つを足しても整数になるわけがない。
 
また、「３分の５」と「４分の２」と「１分の６」という使い方をしても、「割り切れない分数」と「割り切れるけど小数になる分数」と「整数」という組み合わせであることに変わりはないので、その３つを足しても整数にはならない。
 
 
・分母の「３」に分子の「６」を組み合わせた場合
 
「３分の６」は整数、「１分の２」も整数だけど、「４分の５」は小数になるので、その３つを足しても整数にはならない。
 
また、「３分の６」と「４分の２」と「１分の５」という使い方をしても、整数が２個と小数が１個という組み合わせであることに変わりはないので、その３つを足しても整数にはならない。
 
という流れから、「２」と「５」と「６」を分子に、「１」と「３」と「４」を分母に使う場合、足し算の答えはどうやっても整数にならないことが分かります。
 
ただ、この長ったらしい説明を書いてもどうせ読んでもらえないだろうなー、と思ったので、一応【補足】として追記するだけにしときました。
 
っていうか、「その組み合わせは作れません。だって実際に作れないんだもん」というのが個人的な本音なんだけど、それだと解説にはならないのが辛いところです(笑)