気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように、黒いタイルと白いタイルを順番に並べて山を作っていく。
 
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(１)
６番目の山に含まれる白いタイルの枚数を求めなさい。
 
(２)
ある山に含まれる白いタイルと黒いタイルの枚数の差が２１枚であるとき、その山のいちばん下の段にあるタイルの枚数を求めなさい。
 
(３)
となり合う２つの山のタイルの枚数が合わせて２１１３枚のとき、その２つの山に含まれる白いタイルの枚数の合計を求めなさい。
 
 
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(１)
まずはタイルの枚数の規則性について確認してみると、
 
・１番目のタイルの枚数→１＋３＝４枚
・２番目のタイルの枚数→１＋３＋５＝９枚
・３番目のタイルの枚数→１＋３＋５＋７＝１６枚
・４番目のタイルの枚数→１＋３＋５＋７＋９＝２５枚
 
のように、□番目に並ぶタイルの枚数は、１から□＋１番目までの奇数の和と等しくなっています。
 
最初から数えて６＋１＝７番目の奇数は２×７－１＝１３なので、６番目の図には、上から「１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３」のようにタイルが並んでいます。
 
また、□番目に並ぶタイルの色の規則性は、
 
・奇数番目→いちばん上が黒から始まり、１段ごとに「黒→白→黒→白」と入れ替わる
・偶数番目→いちばん上が白から始まり、１段ごとに「白→黒→白→黒」と入れ替わる
 
のようになっているので、次の図のように、６番目のタイルはいちばん上が白から始まっています。
 
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上の図から、６番目の山には白いタイルが、
 
・いちばん上の段に１枚
・上から３段目に５枚
・上から５段目に９枚
・上から７段目に１３枚
 
のように並んでいることが分かるので、白いタイルは全部で１＋５＋９＋１３＝２８枚あります。
 
 
(２)
次の表のように、偶数段目(２段目、４段目、６段目、・・・)に並ぶタイルの枚数は、奇数段目(１段目、３段目、５段目、・・・)に並ぶタイルの枚数よりも常に２枚ずつ多くなっています。
 
つまり、タイルの山が偶数段目で終わると、黒と白のタイルの枚数差は偶数になるはずですが、問題文には「枚数の差が２１枚」とあるので、タイルの山は奇数段目で終わったことが分かります。






そこで、タイルの山が奇数段目で終わるときの枚数差の規則性を調べてみると、次の図のように
 
・１段目で終わる→奇数段目のタイルが偶数段目よりも１枚多い
・３段目で終わる→奇数段目のタイルが偶数段目よりも３枚多い
・５段目で終わる→奇数段目のタイルが偶数段目よりも５枚多い
 
となっていることから、タイルの枚数差は２枚ずつ広がっていくことが分かります。














(２１－１)÷２＝１０なので、白と黒のタイルの枚数差が２１枚になるのは、タイルの山を奇数段だけ数えたときの１＋１０＝１１段目です。
 
奇数段のタイルの枚数は、「１→５→９→１３→・・・」のように１から４枚ずつ増えていくので、奇数段だけ数えたときの１１段目に並ぶタイルの枚数は１＋４×(１１－１)＝４１枚になります。
 
【補足】
 
「奇数段目で終わる＝このタイルの山はいちばん上が白から始まる」ということも分かるのですが、この問題を解くのには必要ない情報なのでスルーしました。
 
また、解説にある「(２１－１)÷２＝１０」とか「１＋１０＝１１段目」といった式の意味が分からん！という場合は、次の図のように、素直に表の続きを書けばＯＫです。




ただし、「偶数段目で終わると枚数差は常に偶数だなー」→「あ、つまり奇数段目で終わったときの枚数差を見なきゃいけないんだ！」という発想がない限り、表を書いても答えを見つけるのは困難だと思います。
 
 
(３)
(１)のときにタイルの枚数の規則性を確認したのですが、この問題をサクッと解くためにあらためてその規則性を見直してみると、
 
・１番目のタイルの枚数→１＋３＝４枚＝２×２
・２番目のタイルの枚数→１＋３＋５＝９枚＝３×３
・３番目のタイルの枚数→１＋３＋５＋７＝１６枚＝４×４
・４番目のタイルの枚数→１＋３＋５＋７＋９＝２５枚＝５×５
 
のように、□番目に並ぶタイルの枚数は、(□＋１)×(□＋１)を計算すれば求められることが分かります。
 
となり合った２つの山に並ぶタイルの合計は２１１３枚、そして２１１３÷２＝１０５６余り１なので、「同じ数×同じ数」の合計がだいたい１０００ぐらいのときを見つければＯＫです。
 
また、合計である２１１３枚の一の位は「３」なので、となり合った２つの山に並ぶタイルの枚数の一の位は、
 
・２×２＝４枚と３×３＝９枚を足すと、一の位は「３」になる
・７×７＝４９枚と８×８＝６４枚を足すと、一の位は「３」になる
 
のどちらかのパターンであることが分かります。
 
「同じ数×同じ数」の合計がだいたい１０００になるときを適当に探してみると、
 
・１０×１０＝１００→小さすぎ
・２０×２０＝４００→まだまだ
・３０×３０＝９００→もうちょい
・４０×４０＝１６００→大きすぎ
 
なので、２つの山に並ぶタイルの合計が２１１３枚となるときの計算式は「３２×３２＋３３×３３」または「３７×３７＋３８×３８」のどちらかになります。
 
そこで、この２つの式を実際に計算してみると、
 
・３２×３２＋３３×３３＝１０２４＋１０８９＝２１１３枚→ピッタリ！
・３７×３７＋３８×３８＝１３６９＋１４４４＝２８１３枚→ダメ
 
となるので、２つのとなり合うタイルの山が２１１３枚となるときの計算式は「３２×３２＋３３×３３」であることが分かります。
 
さっき、□番目に並ぶタイルの枚数は(□＋１)×(□＋１)を計算すれば求められることを確認したので、「３２×３２」でタイルの枚数が分かる山は３２－１＝３１番目、「３３×３３」でタイルの枚数が分かる山は３３－１＝３２番目です。
 
【３１番目の山にある白いタイルの枚数を求める】
 
３１番目は奇数番目の山なので、いちばん上が黒から始まり、１段ごとに「黒→白→黒→白」と入れ替わります。
 
また、３１番目の山にはタイルが３１＋１＝３２段目まであるので、白いタイルだけを数えると全部で３２÷２＝１６段あります。
 
次の図のように、３１番目の山に並ぶ白いタイルは、上から「３枚→７枚→１１枚→・・・」と４枚ずつ増えていくので、白いタイルだけ数えたときの１６段目には３＋４×(１６－１)＝６３枚のタイルが並んでいます。









つまり、上の図に並んでいる白いタイルの枚数は、「３＋７＋１１＋・・・＋６３」のように、最初の３から４ずつ増える１６個の数の合計を求めればＯＫなので、(３＋６３)×１６÷２＝５２８枚です。
 
【３２番目の山にある白いタイルの枚数を求める】
 
３２番目は偶数番目の山なので、いちばん上が白から始まり、１段ごとに「白→黒→白→黒」と入れ替わります。
 
また、３２番目の山にはタイルが３２＋１＝３３段目まであり、３３÷２＝１６余り１なので、白いタイルだけを数えると全部で１６＋１＝１７段あります。
 
次の図のように、３２番目の山に並ぶ白いタイルも、上から「１枚→５枚→９枚→・・・」と４枚ずつ増えていくので、白いタイルだけ数えたときの１７段目には１＋４×(１７－１)＝６５枚のタイルが並んでいます。










つまり、上の図に並んでいる白いタイルの枚数は、「１＋５＋９＋・・・＋６５」のように、最初の１から４ずつ増える１７個の数の合計を求めればＯＫなので、(１＋６５)×１７÷２＝５６１枚です。
 
以上から、３２番目の山には白いタイルが５２８枚、３３番目の山には白いタイルが５６１枚あることが分かったので、その２つの山に含まれる白いタイルの枚数の合計は５２８＋５６１＝１０８９枚になります。