「１、２、３、・・・、１７６」の１７６枚のカードが次の図のように、上からこの順になるように重ねてあります。一番上のカードを一番下に移し、見えたカードを一枚取り除きます。これをカードが最後の一枚になるまで繰り返します。１回目は「１」を一番下に移し、「２」を取り除きます。２回目は「３」を一番下に移し、「４」を取り除きます。次の問いに答えなさい。
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(１) 偶数が書かれたカードが全部取り除かれるのは何回目ですか。
(２) １００回目に取り除かれるカードに書かれている数は何ですか。
(３) 最後の１枚のカードに書かれている数は何ですか。
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(１)
この操作で取り除かれるカードの数に注目してみると、
・１回目→「１」が一番下へ行き、「２」が取り除かれる。
・２回目→「３」が一番下へ行き、「４」が取り除かれる。
・３回目→「５」が一番下へ行き、「６」が取り除かれる。
となることから、次の図のように奇数のカードはすべて残り、偶数のカードだけが取り除かれることが分かります。
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上の図のようにカードを２枚ずつの組に分けると、偶数の最後のカードである「１７６」は１７６÷２＝８８組目なので、答えは８８回目です。
※ ８８回目は、８８番目の奇数である「１７５」が一番下へ行き、「１７６」が取り除かれる。
(２)
８８回目の操作が終わったときには「１」から「１７５」までの奇数が書かれた８８枚のカードが残り、次の図のように「１」が山のてっぺん、そして「１７５」が一番下にあります。
そして、これらの残されたカードは、
・８９回目→「１」が一番下へ行き、「３」が取り除かれる。
・９０回目→「５」が一番下へ行き、「７」が取り除かれる。
・９１回目→「９」が一番下へ行き、「１１」が取り除かれる。
という流れで処理されていきます。
また、上の図の操作で「下へ移動するカード」と「取り除かれるカード」に書かれている数にそれぞれ注目してみると、
・下へ移動するカード→１から始まって４ずつ増えていく
・取り除かれるカード→３から始まって４ずつ増えていく
となっています。
１００回目の操作まで残りあと１００－８８＝１２回、そして奇数を「１・３」、「５・７」、「９・１１」のように２個ずつのグループにしたときの１２組目は、
・下へ移動するカード→１＋４×１１＝４５
・取り除かれるカード→３＋４×１１＝４７
なので、１００回目の操作で取り除かれるカードの数字は４７です。
(３)
１回の操作で「下へ移動するカード」と「取り除くカード」が１枚ずつできるので、最初てっぺんにあった「１」が再びてっぺんに来るたびに、カードの枚数は半分に減っていきます。
また、最初は１７６枚あったカードが「１７６→８８→４４→２２→１１」と減っていくときに残ったカードに書かれた数字は、
・１７６枚のとき→１から順に１７６まである
・８８枚のとき→「１・３・５・７」のように２ずつ増える
・４４枚のとき→「１・５・９・１３」のように４ずつ増える
・２２枚のとき→「１・９・１７・２５」のように８ずつ増える
・１１枚のとき→「１・１７・３３・４９」のように１６ずつ増える
となるので、カードの残りが１１枚になったときは、次の図のように「１・１７・３３・４９・６５・８１・９７・１１３・１２９・１４５・１６１」の１１枚が残っています。
上の図の１１枚に対しても操作を行うと、てっぺんにあった「１」は「１６１」の下に移動するのですが、「１６１」がてっぺんに来たときには
・「１６１」がカードの一番下へ移動する
・その次に来た「１」が取り除かれる
という操作が行われるので、その時点で残ったカードは上から順に「３３・６５・９７・１２９・１６１」の５枚になります(次の図参照)。
上の図の「３３」は「１６１」の下に移動した後に結局取り除かれるので、その時点で残りは「９７」と「１６１」の２枚だけになります。
また、最後の操作では
・「９７」を「１６１」の下へ移動する
・上に来た「１６１」が取り除かれる
となることから、最後に残るカードに書かれている数字は「９７」です。
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