気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように、連続する整数が縦に１００個、横に１００個長方形状に並んでいます。そして、縦に並ぶ数の列を左から順に１列、２列、３列、・・・、１００列と呼ぶことにします。このとき、次の問いに答えなさい。必要があれば、１＋２＋３＋・・・＋１００＝５０５０を用いなさい。
 
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(１)
５列に並ぶ１００個の整数の和５＋６＋７＋・・・＋１０４を求めなさい。
 
(２)
１００００個あるすべての整数の和を求めなさい。ただし、考え方も書きなさい。
 
 
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(１)
まずは１列目と５列目に並ぶ１００個の数字の特徴を確認しておくと、
 
・１列目→１から１００までの１００個の整数が縦に並んでいる
・５列目→１＋４＝５から１００＋４＝１０４までの１００個の整数が縦に並んでいる
 
という感じです。
 
つまり次の図のように、１列目の１００個の数字に４を足せば５列目の数になるので、５列目に並ぶ１００個の数の合計は、「１から１００までの１００個の数の合計」に「４×１００＝４００」を足せば求められます。
 
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また、問題文に「１＋２＋３＋・・・＋１００＝５０５０」となることがわざわざ書いてあるので、５列に並ぶ１００個の整数の和は５０５０＋４００＝５４５０になります。
 
 
(２)
まずは次の表を使って、１列目から１００列目のそれぞれの列に並ぶ１００個の数の合計の求め方を確認してみると、
 
・１列目→１から１００までの１００個の数の和なので５０５０
・２列目→１列目に並ぶ数よりも１ずつ大きいので、５０５０＋１×１００
・３列目→１列目に並ぶ数よりも２ずつ大きいので、５０５０＋２×１００
・４列目→１列目に並ぶ数よりも３ずつ大きいので、５０５０＋３×１００
(途中は省略)
・１００列目→１列目に並ぶ数よりも９９ずつ大きいので、５０５０＋９９×１００
 
という感じになっています。













つまり、上の表のすべての数の合計を求めるには、
 
・５０５０が１００個分→５０５０×１００＝５０５０００
・１００から９９００までの９９個の数の和→(１００＋９９００)×９９÷２＝４９５０００
 
の２つの数を足せばＯＫなので、答えは５０５０００＋４９５０００＝１００００００になります。