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2011

立教女学院2011【2】 ☆植木算・長方形の土地の周囲に2種類の花を植える問題☆


次の問いに答えなさい。
 
(1)
縦56m、横72mの長方形の土地があります。その土地の周りに赤い花の咲く木、白い花の咲く木を、たとえば「赤、白、赤、白、・・・」のように交互に等しい間隔で植えます。土地の四隅に赤い花の咲く木を植えるとすると、赤い花の咲く木、白い花の咲く木はそれぞれ最低何本必要ですか。
 
 
(2)
縦と横の比が1:2の長方形の土地があります。その土地の周りに赤い花の咲く木、白い花の咲く木を、たとえば「赤、赤、白、白、赤、赤、・・・」のように2本ごとに交互に等しい間隔で植えます。土地の四隅に赤い花の咲く木を植えるとすると、合計100本以下で赤い花の咲く木、白い花の咲く木はそれぞれ最大何本植えることができますか。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!




(1)
まずは長方形の土地の周囲へ等間隔に赤い花を植えて、その後で赤い花と赤い花の間に白い花を植えていけば、「赤、白、赤、白、・・・」のように交互に植えることができます。
 
縦56m、横72mの長方形の4つの角に必ず赤い花を植えるためには、赤い花を植える間隔が56mと72mの約数であればOKです。
 
また、花を植える間隔が広いほど植える花の本数は少なくなるので、植える赤い花の本数が最も少なくなるのは、間隔が56mと72mの最大公約数のときです。
 
そこで、次の図のような連除法を使って56と72の最大公約数を求めてみると、2×2×2=8mになります。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


rijo201.png












縦56m、横72mの長方形の周りの長さは(56+72)×2=256mなので、その周りに赤い花を8mの間隔で植えるとき、赤い花は全部で256÷8=32本使います。
 
※ 円や長方形などのように1周できるコースのときは「間の数=木の数」。
 
また、赤い花と赤い花の間は32か所あり、そのすべてに白い花を1つずつ植えると「赤、白、赤、白、・・・」のように交互に植えることができるので、白い花も全部で32本使います。
 
【補足】
 
「そんな風に言葉と式だけで説明されても分からんぜよ!」というあなたのために、ここからは図を使って説明してみます。
 
長方形の縦56mに赤い花を8mの間隔で植えるとき、花と花との間は56÷8=7か所になります。
 
また、横72mに赤い花を8mの間隔で植えるとき、花と花との間は72÷8=9か所なので、コース全体に赤い花を32本植えると次のような図になります。


rijo202.png










植えた赤い花の数は32本、そして赤い花と赤い花の間も32か所なので、次の図のように、その32か所へ白い花を1本ずつ植えると、花の並び方が「赤、白、赤、白、・・・」となります。
 
※ 白い○だと見えないので、白い花を青い○で表しました。
 
なお、赤い花と赤い花の間隔は8mで、その中間に1本ずつ白い花を植えたので、花と花との間はどこも8÷2=4mになりました。


rijo203.png










(2)
長方形のコースに「赤・赤・白・白」の4本を1セットにして植えていくので、植えた花の本数は必ず4の倍数になっているはずです。
 
また、この長方形は横の長さが縦の長さの2倍なので、次の図のように長方形の縦の辺に「赤・赤・白・白」の4本を□セット使ったとすると、横の辺には「4本ずつ□セット」を2組並べることになります。


rijo204.png







上の図を見れば分かるように、長方形の周りには「赤・赤・白・白」の4本ずつ□セットが6組並んでいるので、植える花の本数の合計は4×6=24の倍数になります。
 
100÷24=4余り4なので、100以下の整数で最も大きい24の倍数は24×4=96です。
 
つまり、長方形の周りに植える花の数の合計は最大で96本であり、赤い花と白い花は同じ数(2本)ずつ使うので、赤い花は96÷2=48本、白い花も同じく48本になります。





 
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