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2011

暁星2011【5】 ☆規則性・カードゲームに必ず勝つ方法を答える問題☆


カードを何枚か用意し積み重ねます。次の約束のもとで二人が交互にカードを取っていき、勝敗を決定します。
 
① 1回に2枚以上5枚以下のカードを取る
② いちばん下のカードを取った人を負けとする
③ 2枚以上カードがあるときは必ず①の約束通りにカードを取らなければならない
④ 1枚だけカードが残った場合は次にカードを取る人を負けとする
 
このとき、次の各問いに答えなさい。
 
(1)
カードが全部で8枚のとき、先手、後手どちらかがカードをうまく取ると必ず勝つ方法があります。先手、後手どちらが勝ちますか。その理由も書きなさい。
 
(2)
カードが全部で54枚のとき、先手がカードをうまく取ると必ず勝つ方法があります。その方法を書きなさい。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!




(1)
カンタンに言うと、もし最後に2枚残っていたら、負けだと分かってもその2枚を取るしかないので、8-2=6枚目を取った人が必ず勝ちます。
 
また、カードは1回あたり5枚までしか取れないので、先手が6枚目のカードを確実に取ることはできませんが、後手は次の図のように、
 
・先手が最初に2枚取った→次に後手は6-2=4枚取る
・先手が最初に3枚取った→次に後手は6-3=3枚取る
・先手が最初に4枚取った→次に後手は6-4=2枚取る
・先手が最初に5枚取った→次に後手は6-5=1枚取る
 
のようにすれば、必ず6枚目のカードを取ることができます。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


gyosei501.png











したがって、必ず勝てるのは「後手」であり、その理由は「最初に先手がカードを何枚取ったとしても、後手は必ず6枚目のカードを取れるので、その時点で残り2枚となったカードは次に先手が取るしかないから」という感じでOKです。
 
 
(2)
1回に取るカードの枚数は、最低でも2枚、そして最高だと5枚までなので、
 
・相手が2枚取った場合→自分は5枚取る
・相手が3枚取った場合→自分は4枚取る
・相手が4枚取った場合→自分は3枚取る
・相手が5枚取った場合→自分は2枚取る
 
という形で相手の取った枚数に合わせて自分が取るカードの枚数を調整すれば、相手の取った枚数と自分の取った枚数の合計を常に7枚で安定させることができます。
 
【最後に2枚残して勝つ場合】
 
先手が最後にカードを2枚残せば、その2枚を取った後手が負けになるので、「53枚目」と「54枚目」の2枚を、次の図のように後手に取らせればOKです。
 
また、残りの54-2=52枚については、52÷7=7余り3枚なので、
 
・「1枚目」から「3枚目」までの3枚→最初に先手が取る
・「4枚目」から「52枚目」までの49枚→「後手+先手=7枚」を7セット繰り返す
 
のようにすれば、最後の2枚は必ず後手が取り、先手の勝ちになります。


gyosei502.png





【最後に1枚残して勝つ場合】
 
先手が最後にカードを1枚残した場合も、その1枚を取った後手が負けなので、54枚目は次の図のように後手へプレゼントします。
 
そのとき、残りの54-1=53枚については、53÷7=7余り4枚なので、
 
・「1枚目」から「4枚目」までの4枚→最初に先手が取る
・「5枚目」から「53枚目」までの49枚→「後手+先手=7枚」を7セット繰り返す
 
のようにすれば、最後の1枚は必ず後手が取り、先手の勝ちになります。


gyosei503.png






以上から、先手が必ず勝つ方法は「先手が最初にカードを3枚または4枚取り、その後は後手と先手が取ったカードの枚数が常に7枚になるように調整する」という感じになります。

 
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